文档介绍：非负矩阵

定义1 设，如果对所有都成立，则称非负矩阵（或正矩阵），记作.
设，如果，，我们用表示的元素取绝对值之后所得到的非负矩阵，即，特别地，当时，.
由非负矩阵与正矩阵的定义可直（17）
于是，根据引理1，应有，这与的假设矛盾！从而（16）成立.
由（16）成立，可得，因此，也是的属于特征值的一个特征向量，即
（18）
由于，而，故（18）式蕴含着和，于是引理3得证.
推论1
（I）是的正特征值；
（II）的几何重数为1，且对应的特征向量可取作正向量；
（III）对任意的，且，必有.
分析除的几何重数为1之外，推论的其它结论都已包含在引理3之中，因此，只需证明的几何重数是1即可.
证明反证法若的几何重数不是1，则在中必存在两个线性无关的和，使得
由于，故至少存在一个非零分量，不妨设它的第i个分量，令
，
其中表示y的第i个分量，则z是一个至少有一个分量为零的非零向量，且也是属于的特征向量，于是，由引理3知，应有，这与z有一个分量为零矛盾！从而的几何重数是1.
引理4 ：
（I），即的几何重数是1；
（II）的属于特征值的左右特征向量和，满足.
证明由于特征值的几何重数、代数重数以及条件（II），不失一般性，可假定是Jordan 标准形，，，下面只证充分性.
由的几何重数是1，因此，具有如下形状
，
其中不包含属于的Jordan块，而
，欲证的代数重数是1，，则和分别是的属于特征值的左右特征向量，而且，从而，这与条件（II）矛盾！因此，，即的代数重数是1.
Perron-Frobenius定理的证明当时，
分三步证明
（I）先证：若，满足
. （19）
则必有，而且
，（20）
有（19）式可得
，（21）
从（21）出发，归纳的可证
，（22）
对一切自然数k成立，于是有
，（23）
由是非负不可分矩阵，故有定理2知，，进而，应用推论1与矩阵上，可知存在，使得
，（24）
在（23）式两边左乘，并应用（24），得
，（25）
而，故有
，（26）
另一方面由谱映照定理知，必存在，使得
，（27）
将（27）代入（26），并注意到幂函数的单调性，可得
.
这表明，，从而（26），进而（23）的等号成立，即
，（28）
由，且，知（28），从（28）和（22）可知，必有
即（20）（II）得证，且有.
（II）在证明，是的单特征值.
由（I）所证知，对属于的任意特征向量，，可证的几何重数是1.
另外，对和应用（I）所证，知属于的左右特征向量和可取作正的，因而有；于是据引理4知，是的单特征值.
（III）.
如若不然，则存在不为零的非负特征向量满足
. （29）
另一方面，由（I）所证知，存在，使得
，（30）
在（29）两边左乘，并注意到（30），因此
但，故有，这与的假设矛盾！从而，不存在属于其他特征值的非负特征向量.
3．非负矩阵的谱
由推论1知，正矩阵的模为，现看一个简单例子
例1 设
则可证是非负不可分的，它的n个特征值是
从而它的特征值的模都等于谱半径.
定理4 设是n阶非负不可分矩阵，h是的模等于的不同特征值的个数，则
（I）的模为的h个特征值是
也就是说，它们“均匀”地分布在以原点为圆心，为半径的圆周上；
（II）的特征多项式具有如下形状
其中，且当时，；即除模为的特征值之外，的其余非零特征值亦可分为若干组，使得每组正好有的h个模相等的特征值，