文档介绍：.
1 / 18
泛函分析与应用-国防科技大学
第 一 章
第 一 节
3．设是赋空间中的Cauchy列,证明有界,即。
证明：,,当时,有,不妨设,则。取,则有,令,则。
6．设是Banach空间,中的点列满足〔此时称级数绝可列个开集之交。
〔2利用〔1中的结论以及de Morgan公式,可得：。显然是开集,是闭集,这表明开集总可以表示为可列个闭集之并。
10．设均是实赋空间,是连续映射,且满足可加性：对任意,恒有。证明：是线性算子。〔提示：注意到非零有理数形如〔,与互质,先对有理数说明,然后利用连续性。
证明：令为〔1式。则在〔1式中,当时,有；当时,有,令此式为〔2式。此外利用〔1式还可得：,令此式为〔3式。又
,且,有,有,令此式为〔4式。
由在中稠密,,使得。因此
。
由是线性算子。
第 四 节
2．设表示定义于上"直至阶连续导数"的函数的全体,按通常函数的加法与数乘,是线性空间。对,,其中
.
5 / 18
表示,则成为赋空间。证明它是Banach空间。
证明：
证明赋空间。
正定性与绝对齐性是显然的。下证此数满足三角不等式。
设,则
。所以按此数它是赋空间。
〔２证明完备性。
设是中的Cauchy列。则,,当时,有,即――〔１式。特别的,对于每个,〔１式都成立。所以是中的Cauchy列。于是使,所以一致收敛到。
当时有,
,所以。
同理可得：当时,有。最终有,所以。
综上所述,它是Banach空间。
5．设、是赋空间的子集,且,证明：
若是第二纲集,则必是第二纲集；
若是第一纲集,则必是第一纲集；
证明：先证明〔２。是第一纲集,则,其中是稀疏集。令,则也是稀疏的。下面来证。设,按的定义必有,则；另一方面,设,则必存在,使得,按的定义有,所以。由此可知：。所以必是第一纲集。
若必是第一纲集的话,按〔２中的结论可知必是第一纲集,此与是第二纲集矛盾,所以是第一纲集。
6．设是赋空间中的闭集,且不是稀疏集,证明必包含中某个闭球。
证明：不是稀疏集存在中某个开集,使得在中稠密。取,使得,所以有。
7．设是赋空间的真闭子空间,证明是中稀疏集。
证明：由****题6的结论可知：如果不是稀疏集,则,使得。因此,有,则,所以,此与是的真闭子空间矛盾。由此可知：是中稀疏集。
8．证明是中的第一纲集。
证明：用表示次数不超过的多项式,则是的真闭子集,由****题7的结论可知在是稀疏的。又,这表明是中的第一纲集。
第五节
1．证明紧集必是完备子集。
证明：设是紧集,且是中的Cauchy序列。则,,使得当时,有。又因为是紧集,则及,使得
.
6 / 18
。因此当时,也有。由此可知：收敛,且极限为。则是完备子集。
2．证明紧集的闭子集是紧集,紧集必是闭集。
证明：设是紧集,且是闭集。,有,使得,子列,使得是列紧的——〔1式。
又因为是闭集,则——〔2式。
由〔1〔2式可知,是紧集紧集的闭子集是紧集。
设是紧集。,且,使得,且。由收敛序列的极限与其子列的极限一致,可知,由此可知是闭集。
3．证明列紧集的闭包是列紧集,因而列紧集的闭包是紧集。
证明：设是列紧集。,由接触点的性质,存在,使得——〔1式。,使得
,。因此是列紧的。又式闭集,则,所以是紧集。
4．证明：若是紧集,,则也是紧集。
证明：是紧集,子列,使得,且,子列,使得,且是紧集。
5．证明紧集的有限并是紧集,紧集的任意交是紧集。
证明：设是一列有限的紧集,记。,则必存在整数,使得含有的无穷多项,记为。由是紧集,则的子列,使得,且。因此,都存在它的子列,且。所以紧集的有限并是紧集。
设是一列紧集,记。,则对任意整数,都有。由是紧集,则的子列,使得,且,即。因此,都存在它的子列,且。所以紧集的任意交是紧集。
6．设是中一列不增的非空紧集,证明。若将条件中"紧集"改为"闭集",试问结论是否成立？
证明：由非空,可取。再由题意知,则。显然,由是紧集,则的子列,使得,且；此外取,由是紧集,则的子列,使得,且。由收敛序列的极限与其子列的极限一致,则,且。依此类推,当时,有,的子列,使得,且。由收敛序列的极限与其子列的极限一致,则。由此可知：,则。
7．设是中的非空紧集,映射连续,证明是中的紧集,即紧集的连续像仍是紧集。
证明：设是中的序列,由像与原像的性质,可知是的原像,再由是非空紧集,可知存在子列,而是连续的,则,因此是中的紧集。
8．设是中的紧集,映射连续,证明在上一致连续,即对于任何,存在,当,且时,恒有。
.
7 / 18
证明：用反证法。,,当,且时,恒有。不妨取,则――〔１式。由于是紧集中的序列,则必存在子列,由〔１式可知,。再由的连续性,则,此与矛盾。所以在