文档介绍:第五章****题第一部分01-15
M为线性空间X的子集,证明span(M)是包含M的最小线性子空间.
[证明
则由
所以
]显然span(M)是X的线性子空间.设N是X
span(M)的定义,可直接
zL
[注]
在本题的证明过程中,并未用到“
X为完备的”这一条件.
:
2
1
2
1
2
是等价
中,||?||,||?||
与||?||都是等价范数;b.||?||与||?||
范数的充要条件是:X中随意序列在两个范数下有相同的收敛性.
[证明]
||x||
||x||
||x||
2||x||,所以||?||,||?||
与||?||都是等价范
2
1
1
2
数.,下面证明充分性.首先
inf{||x||2
1
0
.
若inf{||
x||
|||x||
=1}=0,则存在X中序列{
|||x||=1}
x},使得||x
||
=1,||x||0.
2
1
n
n
1
n
2
而随意序列在两个范数下有相同的收敛性,进而
||xn1
.
这矛盾说明inf{||x||2
||
0
1
.
对x
X,当x
0
|||x||=1}=a>0
.
时,||(x/||x||11
,所以
1
2
故x
X有a||x||1
2.
)||
=1
||(x/||x||)||
a
||x||
近似地能够证明存在b>0使得b||x||2
1
X.所以两个范数等价.
||x||
,x
证明:Banach空间m不是可分的.[证明赐教科书p187,]
证明:c是可分的Banach空间.[证明见第4章****题16]
设X,Y为线性赋范空间,TB(X,Y).证明T的零空间N(T)={xX|Tx=0}
是X的闭线性子空间.
[证明]显然N(T)={xX|Tx=0}是X的线性子空间.对x
N(T)c,Tx0,由
于T是连续的,存在x的邻域U使得u
U有Tu
0,进而U
N(T)c.故N(T)c
是开集,N(T)是X的闭子空间.
(aij),(i,j=1,2,