文档介绍：第五章****题第一部分01-15
M为线性空间X的子集，证明span(M)是包含M的最小线性子空间．
[证明
则由
所以

]显然span(M)是X的线性子空间．设N是X
span(M)的定义，可直接
zL
[注]
在此题的证明过程中，并未用到“
X为完备的”这一条件．
：
2
1
2
1
2
是等价
中，||?||，||?||
与||?||都是等价范数；b.||?||与||?||
范数的充要条件是：X中任意序列在两个范数下有相同的收敛性．
[证明]
||x||
||x||
||x||
2||x||，所以||?||，||?||
与||?||都是等价范
2
1
1
2
数．，下面证明充分性．首先
inf{||x||2
1
0
．
若inf{||
x||
|||x||
=1}=0，则存在X中序列{
|||x||=1}
x}，使得||x
||
=1，||x||0．
2
1
n
n
1
n
2
而任意序列在两个范数下有相同的收敛性，从而
||xn1
．
这矛盾说明inf{||x||2
||
0
1
．
对x
X，当x
0
|||x||=1}=a>0
．
时，||(x/||x||11
，所以
1
2
故x
X有a||x||1
2．
)||
=1
||(x/||x||)||
a
||x||
类似地可以证明存在b>0使得b||x||2
1
X．所以两个范数等价．
||x||
，x
证明：Banach空间m不是可分的．[证明见教科书p187,]
证明：c是可分的Banach空间．[证明见第4章****题16]
设X,Y为线性赋范空间，TB(X,Y)．证明T的零空间N(T)={xX|Tx=0}
是X的闭线性子空间．
[证明]显然N(T)={xX|Tx=0}是X的线性子空间．对x
N(T)c，Tx0，由
于T是连续的，存在x的邻域U使得u
U有Tu
0，从而U
N(T)c．故N(T)c
是开集，N(T)是X的闭子空间．
(aij)，(i,j=1,2,