文档介绍：函数的增减性
一、概念
一般地，设函数y=f(x)的定义域为A,区间IqA
如果对于区间I内的任意两个值x〔,x2,当xi<x2时，都有f(xi )<f(x2)，那么就说y=f(x)在区间I上是增函数。
I称为y=f(x)的单调增二）=^ + 2（四一1）工+ 2在区间（—8,4]上是减函数，则实数秫的取值范围是
已知73）在定义域内是减函数，且/（工）＞°,在其定义域内判断下列函数的单调性：
①y=f（x） + a（ a为常数）是;
^=白一/（工）（a为常数）是；
1
y =
/⑴是;
丁 = |/(应］是.
设/⑴，xeR是增函数，g(x)和"(x), xeR是减函数，则/kw］＜函数；g［/(x)］是
函数；义伍(对］是函数.
(1)函数f(x)=x2-1在(-8, 0)上是减函数；、
(2)讨论函数f(x)=x + -在区间(0, +8)上的单调性. X
(x)=-x3-x+l(x€R),证明y=f(x)是定义域上的减函数，且满足等式f(x)=0的实数值x至多只有一个.
判断一次函数》=上、+的(上=0)单调性.
证明函数y=&在［°，*°】上是增函数，并判断函数y=x+-^在［o，k°］上的单调性.
判断函数 Vx的单调性.
=f(x),对任意xCR,都有f(a+x)=f(a-x),(a, +8)时，该函数为减函数,判断当x€(-oo, a)时，函数y=f(x)的单调状况，证明自己的结论.
(x)是定义在R+上的递增函数，且f(xy)=f(x)+f(y)
求证 €) = f(x)-f(y)；
y
若 f(3)=l,且 f(a)>f(a-l)+2,求 a 的取值范围.
/3)对于x>0有意义，且满足条件/(2) = 1, /(砌=/3)+/0),
是非减函数，(1)
证明/(1)= 0；⑵若/3)+/3-与22成立，求X的取值范围.

[f(a)-a]-lf(b)-b]= l
a <2 i < 2 ?证明： J2-々 + ^2—b
⑵证明73）在V 4」上是增函数
/3)=(xT)2 + 2, g(x) = —-l,求函数 _y=/[g(x)]的单调区间,
：W = J1-'在［一侦］上不是单调函数.
，证明函数/0） = -#+1在（一8，卬）上是减函数.
(x)是定义在(°应上的增函数，/(2)= 1,且/(x、)=/(x)+/O),求满足不等式
关于复合函数
1、复合函数的概念
如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f (a) , a=g (x),那么y关于x的函数y=f[g (x)]
叫做函数y二f(X)和a=g (x)的复合函数，其中a是中间变量，自变量为X,函数值y。
y=(-)^~2l( y = (-)a a = x2 -2x
例如：函数 3 是由 3 复合而成立。
函数y = 03 + 4x-x，是由y = M a = 3 + 4x-/复合而成立。
a是中间变量。
2、复合函数单调性
定理：一般地，设函数u=g(x)在区间M上有意义，函数y=f (u)在区间N上有意义，且当X€M时，u€N。
有以下四种情况:
若 u=g(X)
在M上是增函数,
y=f (u)
在N上是增函数,
则y=f［g (x)］在14上也是增函数;
若 U=g(X)
在M上是增函数,
在N上是减函数,
则y=f［g (x)］在］\1上也是减函数;
若 U=g(X)
在M上是减函数,
y=f (u)
在N上是增函数,
则y=f［g (x)］在M上也是减函数;
若 u=g(X)
在M上是减函数,
y=f (u)
在N上是减函数,
则y=f［g (x)］在^1上也是增函数。
注意：内层函数U=g (x)的值域是外层函数y=f (u)的定义域的子集。
例、讨论函数的单调性
⑵ y=lg5(3+2x-x2)
=ffe(x)］的单调性规律
若函数y=f(x)是由外函数y=f(u)和内函数u=g(x)复合而成，则复合函数尸f［g(x)］的单调性与各分函数y=f(u),u=g(x) 的单调性之间的关系如下表：
单调性
三个以上分函
数
y=f(u)
/
/
\
\
偶数个减为增
奇数个减为减
u=g(x)
/
\
/
\
y=f[g(x)]
/
\
\
/
判断原则
“同增异减”
"同增异减"----两分函数的单调性相同时复合函数为增函数，两分函数