文档介绍：宜宾学院11级毕业论文
常见求定积分与不定积分的方法
学院: 数学学院
年级: 11级励志班
学号: 110203001
姓名: 丁云红
专业: 数学与应用数学
指导对称区间上定积分公式进行求解.
解：由公式(2)得，
例4计算.
解：由公式(3)可得，
故
.
从上面例子可知，上述三题的解法在于利用了对称区间上定积分的性质来巧妙的简化了定积分的计算，在一定的程度上减少了计算量和工作量；因此，记住这些性质对我们求解定积分题是非常有帮助的．
积分中值定理
.1积分第一中值定理
设和都在上可积，在不变号，则存在，使得，
这里和分别代表在的上确界和下确界。
特别地，若在上连续，则存在，使得
.
.2积分第二中值定理
设在上可积，
(1)若函数在上单调递减，且，则存在，使得
.
(2)若在上单调递增，且，则存在，使得
.
(3)若在上单调，则，使得
.
.3定积分的中值定理
设在上连续，则在中存在某点，使得
.
例5求证.
证明：对，由积分第一中值定理，
.
由于，故对上述，，当时，有
.
从而
.
所以，当时，有
，
由的任意性，可知
.
牛顿—莱布尼茨公式
若函数在上连续，且存在原函数，即，，则在上可积，且
.
上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也常写为
.
例6求的值.
解：的最简单的反导数是，因此，
.
求解定积分，若能直接写出被积函数的原函数的可以运用牛顿—莱布尼茨公式能快速的求解。步骤为：,任何一个反导数都可以，一般最好选择最简单的一个，方便计算；，得出数便是的值.
例7求定积分.
解：令，则
.
所以
.
而
.
故
.
这道题运用了定积分的法则和牛顿—莱布尼茨公式，使得复杂的计算变得简化，在定积分求解中，灵活的运用法则和公式也能给求解定积分带来简便。
定积分换元积分法
换元积分法是在积分过程中通过引入适当的变量来简化积分计算的一种积分方法．通常在应用换元积分法求原函数的过程中，也相应的变换积分的上下限，这样可以简化计算．
若函数在上连续，满足在上可积，且满足
，
则有定积分换元公式：
换元的简单情况就是凑微分法，同时，它也是其他方法的基础和优先思路．通常在应用换元积分法求原函数的过程中，也相应变换积分上下限，这样可以简化计算．
利用换元法的关键在于选择恰当的变换方式，否则可能使变换后的积分更加复杂，难以计算，然而我们没有一般的原则，只能依据被积函数的特点来确定．
例8 求.
解：应用定积分换元积分公式
令,当时，；当时，
．
显然，上述计算方法使用定积分换元公式简便，从而体现了换元积分法的优越性．
例9求
解：设　当时，；当时，
所以，
则，
所以，
则，
．
例10　求
解　设，，当时，；当时，
从上面的例子可以看出被积函数分别含有根式
，， ()时，为了要去掉根号，简化计算,相应地分别实施弦换法(或)，切换法(或)，割换法(或)，这统称为三角变换法，对三角函数构成的定积分，将区间变换与三角函数诱导公式结合起来，往往是非常有效的.
定积分分部积分法
若为上的可微函数，且和都在上可积，则有定积分分部积分公式：
.
也写作
.
例11计算.
解：记，，则，，
.
这道题采用定积分的分部积分公式计算，从此可以看出，定积分分部积分法在定积分的计算中简化了计算，在定积分的求解中有很大的作用.
例12求定积分.
解：
记，，则，.
则
于是
故
.
例13求定积分
解：令，，，当时，.
于是
，
其中
于是
故
这道题中，先用了定积分换元法，再换元法的基础上用了分部积分法，两种方法结合解题，简化了计算，，很多情况下往往需要将换元法和分部积分法相结合，至于偏重于哪种方法，要视具体的题目而定.

在区间上给定函数，若存在，使得，或，，则称是的一个原函数，的全部原函数称为的不定积分，记作
若存在原函数，也称可积.
其中称为积分号，为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量.
不定积分和原函数是总体和个体的关系，即若是的一个原函数，则的不定积分是一个函数族,
其中把称为积分常数，它可以取任意一实数值.

在上的任意两个原函数之间，只相差一个常数.
在上的全体原函数称为在上的不定积分，记作，若是的一个原函数，则.
可积，，.
设，可积，则.
设，可