文档介绍：(自然科学版)JOURNALOFSOUTHCHINANORMALUNIVERSITY(NATURALSCIENCEEDITION)初等数学研究收稿日期:2014-06-15通讯作者:罗瑾,硕士研究生,Email:******@.文章编号:1000-5463(2014)S2-0040-03矩阵的递推罗瑾,吴康(华南师范大学数学科学学院,广州510631)摘要:将根据方阵的递推关系求通项公式的方法运用到m×k阶矩阵中,并且结合由递推关系求取数列通项的方法,得到了求取Xn=PXn-1型关系的Xn通项公式与如何将Xn=PXn-1型转化为Xn=PXn-1+:矩阵;递推;通项公式1符号约定及预备知识定义1[1]设有m个数列{x(1)n},{x(2)n},…,{x(m)n},满足递推式组x(1)n=a11x(1)n-1+a12x(2)n-1+…+a1mx(m)n-1,x(2)n=a21x(1)n-1+a22x(2)n-1+…+a2mx(m)n-1,…x(m)n=am1x(1)n-1+am2x(2)n-1+…+ammx(m)n-1???????,(1)其中aij(i,j=1,2,…,m)为常数,初始条件x(1)1,x(2)1,…,x(m)1给定,则称为m元(阶)[1]用矩阵表示为(x(1)n,x(2)n,…,x(m)n)T=P(x(1)n-1,x(2)n-1,…,x(m)n-1)T,其中P=(aij)1≤i≤m,1≤j≤[1]矩阵P的特征方程|!E-P|=[1]若m元线性递推式数列的特征方程为b0+b1!+b2!2+…+bm!m=0时,则m个数列{x(1)n},{x(2)n},…,{x(m)n}满足递推关系式b0x(k)n+b1x(k)n+1+b2x(k)n+2+…+bmx(k)n+m=0(k=1,2,…,m),即{x(1)n},{x(2)n},…,{x(m)n}是满足同一递推关系的m元线性递推式数列(只是初始条件不同,但m个满足同一递推关系式的m元线性递推式数列的通项).定理2[1]设m元线性递推式数列系数矩阵P的特征根为!1,!2,…,!t,它们的重数分别为s1,s2,…,st,s1+s2+…+st=m且|P|≠0,则其通项式为(x(1)n,x(2)n,…,x(m)n)T=B(!n-11,n!n-11,…,ns1-1!n-11,…,!n-1t,n!n-1t,…,nst-1!n-1t)T,简记为Xn=B·Λn-=B·Λk-1(k=1,2,…,m).定理3[1]设矩阵P可以对角化,那么存在m元可逆矩阵M,使式(1)的解为Xn=Pn-1X1=(MQn-1M-1)X1,其中Q=diag(!1,…,!}1s1个,…,!t,…,!}tst个).推论1[2]设P是一个n阶实对称方阵,那么存在m阶正交矩阵U,使式(1)的解为Xn=(UQn-1UT)X1,其中Q=diag(!1,…,!}1s1个,…,!t,…,!}tst个).本文将文献[1]给出的关于根据方阵的递推关系求通项公式的方法运用到m×k阶矩阵中,并且结合数列中的根据递推关系求通项的方法,探