文档介绍：§,向量定义为有向线段。在三维欧氏空间中,建立直角坐标系,沿坐标方向的单位向量为,即其标架为。设从坐标原点至点的向量为,它在所述坐标系中的坐标为,那么可写成()设在中有另一个坐标系,其标架为,它与之间的关系为()由于单位向量之间互相正交,之间也互相正交,因此矩阵()将是正交矩阵,即有,其中上标表示转置。从()可反解出()向量在新坐标系中的分解记为()将()代入(),得到()公式()是向量的新坐标和旧坐标之间的关系,它是坐标变换系数的一次齐次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质(如:长度、角度)不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说,公式()表示了向量在坐标变换下的不变性。这样,我们就从向量的几何定义,得到了向量的代数定义:一个有序数组,如果在坐标变换下为关于变换系数由()所示的一次齐次式,则称之为向量。,可将()写成()所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号,例如()可写成()在此规则中两个相同指标就表示求和,而不管指标是什么字母,例如()也可写成()有时亦称求和的指标为“哑指标”。本书以后如无相反的说明,相同的英文指标总表示从1至3求和。按约定求和规则,()、()可写成()()将()代入(),得()由此就得到了()式的约定求和写法,()今引入Kronecker记号,()例如。应用,单位向量之间的内积可写成()向量和向量之间的内积可写成()上式中最后一个等号是因为只有时,才不等于零,在这里的作用似乎是将换成了,因而也称为“换标记号”。再引入Levi-Civita记号,()其中分别取1,2,3中的某一个值。例如,,,…。利用,向量之间的外积可写为()()-Civita记号之间有如下关系()证明1穷举法,先列出所有可能的81种取值情况,情形123┆1**********┆┆┆┆然后逐个情形证明,例如,情形1,,故此情形()成立,…。证明2我们有双重外积公式()将代入()左右两边,得到将上述两式代入()两边,移项,得()由于的任意性,从()即得欲证之()式。证明3利用Lagrange公式()按证明2类似的步骤,从()可导出()。证明4从()和向量混合乘积的行列式表示,有()其中分别为向量在中的坐标。按行列式的乘积法则,有()其中第二个等式应用了等关系。将()最后一个行列式展开,得()注意到,以及换标记号和的意义,从()即得()。证毕。§()其中称为并矢基,它们共有9个,()在坐标变换()之下,()成为()于是()从()可引出张量的定义:一个二阶有序数组,在坐标变换下,关于变换系数为二次齐次式,则称为张量,也记作。为其指标记号,为其整体记号。张量在并矢基下的9个分量,有一个矩阵与之对应,记作()同一个张量在另一组并矢基下所对应的矩阵为,()按()可知,张量在不同坐标系下所对应的矩阵服从矩阵的合同变换,()其中为坐标变换矩阵()。附注:上述张量的定义可以推广:一个阶有序数组,在坐标变换()下,若服从的次齐次式,()则称之为阶张量。按照这种定义,标量可认为是零阶张量,向量可认为是一阶张量,()所述的张量为二阶张量,也可证明Levi-Civita记号为三阶张量。()式中的下标和取值范围也可不必限于从1到3,也可从1到,那么()式所定义的张量称为维空间中的阶张量。本书所述张量,以后如不作说明均为三维二阶张量。,()张量的转置记为,()不难验证,和也是张量。例如,()一个张量称为对称张量,如果()与对称张量所对应的矩阵为对称矩阵。一个张量称为反对称张量,如果()与反对称张量所对应的矩阵为反对称矩阵,我们将反对称矩阵记成()从()可以得出,()()不难验证,由()所定义的为向量,它称为相应于反对称张量的轴向量。由于所以()为一张量,称之为单位张量。,()()从()(),可得左右两种内积