文档介绍：补充:矢量和张量
在传递现象的理论中所遇到的物理量可以分成下面几类:标量,如温度、能量、体积和时间等;矢量,如速度,动量,加速度和力等;以及二阶张量,如剪切应力或动量通量张量等。我们将采用不同的符号以示区别:
s=标量(斜体字母)
v =矢量(黑斜体字母)
τ=张量(黑希腊字母)
矢量和张量可以有几种乘法运算,分别以三种特定的乘法符号来表示这些运算(定义见后):“单点积”.“双点积”:以及叉积x。我们还采用三种不同的括号表示括号内乘法运算所得结果的类型:
( ) =标量
[ ]=矢量
{ }=张量
如果括号内只含有加法和减法运算,括号的类型就无特别意义。因此,(v·w)和(σ:τ)是标量,[v×w] 是矢量,而{σ·τ}则是张量。另一方面,有时为了方便,(v·w)亦可写成[v·w]或{v·w} 事实上,标量可以认作零阶张量,矢量可认作一阶张量。乘法符号还可作如下解释:
其中,∑表示被乘量的阶数之和。例如sτ的阶数为0+2=2,vw的阶数为l+1=2, [v×w]的阶数为1+1-1=1, (σ:τ)的阶数为2+2-4=0,而{σ·τ}的阶数为2+2-2=2。有关标量的基本运算勿庸赘述。标量运算满足交换率、结合率和分配率。
矢量运算的几何表示
矢量及其大小的定义:
矢量v定义为一个具有一定大小和方向的量。矢量的大小记作| v | 。或以非黑体的斜体字v来标记。二个矢量v和w如果大小相同,方向亦相同,则此二矢量相等;它们不一定是同线的,亦不一定具有同一原点。如果v和w的大小相同,但方向相反,则v =-w。
矢量的加法和减法
两个矢量的加法可以用熟知的平行四边形法则进行运算;矢量减法运算如下:改变一个矢量的符号,然后与另一失量相加。
矢量和标量的乘法
用一标量乘一矢量,仍为一矢量,它的大小改变,但方向不变。下述定律适用;
二矢量的标量积(或点积)
二矢量v和w的标量积为一标量,定义如下:
一矢量与其自身的标量积就是该矢量大小的平方,
二矢量的矢量积(或叉积)
式中nvw是单位长度的矢量(“单位矢量”),它与v和w组成的平面垂直,其方向是右螺旋的前进方向(矢量v按最短路径旋转到w)。—4所示。矢量积的大小正好等于矢量v和w组成的平行四边形面积。按矢量积定义,我们有