文档介绍：事故树计算的数学知识
本教案涉及的主要内容
事故树数学基础知识
Shuxue Jichuzhishi
1. 集合的基本关系和运算
3. 概率及运算
4. 事故树定性、定量分析
章 集合的关系和运算
如果事故树结构比较复杂时，以上方法仍然相当繁琐，可采用不交积之和定理进行简化运算；尤其是当事故树最小割集彼此间有重复事件时，将更具优越性。
命题1，集合Er和Es如不包含共同元素，则Er可用不交化规则直接展开。
命题2，若集合Er 和Es包含共同元素，则：
Er′ Es = Er′s Es
式中：Er s表示Er中有的而Es中没有的元素的布尔积。
第一章 集合的关系和运算
命题3，若集合Er和Et包
含共同元素，Es和Et也包
含共同元素，而且Er t，
Es t，则：
Er′Es′Et ′= Es′ tEt
事故树案例
T
●
A1
A2
＋
＋
●
＋
●
B1
B2
C
X5
X1
X4
X5
X2
X3
X3
图5 事故树
第一章 集合的关系和运算
根据以上事故树，用不交积之和定理进行不交化运算，计算顶上事件的发生概率。
解：经布尔代数化简，该事故树最小割集为：
E1 = {X1,X4}， E2 = {X3,X5}，
E3 = {X1,X2,X3}
E1 3 = E4， E2 3 = E5
第一章 集合的关系和运算
根据以上公式和命题1、命题3得：
T = = E1+E1′ E2+E1′ E2′ E3
= E1+E1′ E2+E1 3E2 3E3
= X1X4+(X1X4)′ X3X5+X4′ X5′ X1X2X3
= X1X4+(X1X1′ X4′ )X3X5+X1X2X3X4′ X5′
= X1X4+X1′ X3X5+X1X3X4′ X5+X1X2X3X4′ X5′
第一章 集合的关系和运算
设各本事件的发生概率为q1=,q2=,q3=,q4=,q5=，
则顶上事件的发生概率为：
P（T）= q1q2+(1－q1)q3q5+q1q3(1-q4)q5
+q1q2q3(1-q5)
=
第一章 集合的关系和运算
第四节 化相交集合为不交集合
在FTA中的应用
化相交集合为不交集合理论是近几年提出的，引进到FTA中可以减少故障树顶上事件发生概率的计算量。
根据布尔代数下列定律：
A + B = A +A′B A ′+ B′ = A′+ AB′
A′A = 0 (A′ )′ = A
(AB)′ = A′ + B′ (A + B)′ = A′ B′
对于独立事件和相容事件，A + B 和A′ + B′均为相交集合，而A + A′ B和A′ + AB′则变为不交集合。
第一章 集合的关系和运算
根据以上定律：
A + B + C =
A + A′ B + C =
A + A′ B +（A + A′ B）′ C =
A + A′ B + A′（A′ B）′ C =
A + A′ B + A′ [（A′）′+ B′ ]C =
A + A′ B + A′（A + B′）C =
A + A′ B +A′ B′ C
同理可证：
A + B + … + M + N = A + A′B + … A′B′…M′N
第一章 集合的关系和运算