文档介绍：第五章
矩阵对角化问题
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对阶矩阵，
1. 方阵对角化的概念
寻找相似变换矩阵，使
这就称为把方阵对角化.
说明
如果能找到可逆矩阵，使第五章
矩阵对角化问题
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对阶矩阵，
1. 方阵对角化的概念
寻找相似变换矩阵，使
这就称为把方阵对角化.
说明
如果能找到可逆矩阵，使，则
可对角化；
如果找不到这样可逆矩阵，则不可对角化.
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2. 定理的引入
设有可逆矩阵，使为对角阵.
下面
回答能否由确定.
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这表明的第个列向量是的对应于特征值
的特征向量，
因而由和确定，
也就是由确定.
由于特征向量不是惟一的，所以矩阵也不
是惟一确定的.
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反过来，
是依次与之对应的特征向量，则
设矩阵的个特征值为，
当可逆，即线性无关时，有
这表明方阵能否对角化完全可用的特征值和
特征向量来刻画.
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由定理证明可知,如果矩阵A相似于对角矩阵, 设
则矩阵P的列是A的线性无关的特征向量,
对角矩阵的对角元素是P中列向量对应的矩阵A的特征值.
若则的主对角元素即为的特征值，
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3. 方阵可对角化的充要条件
定理4 阶矩阵与对角阵相似(即能对角化)
的充要条件是有个线性无关的特征向量.
推论
若阶矩阵的个特征值互不相等，则
与对角阵相似.(逆命题不一定成立）
说明
当的特征方程有重根时，不一定有个线性无
关的特征向量，从而不一定能对角化；
但是，有重根时，也有可能能对角化. 所以
特征值互不相等只是与对角阵相似的充分条件.
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下述定理可将关于可对角化条件更精细地刻画出来.
定理:
设
是n阶方阵A的全部不同的特征值,
其重数分别为
则A可以对角化的充分必要
条件为对应
有
个线性无关的特征向量.
注:
对应于
的所有线性无关特征向量的基是
的基础解系.
个向量,
故n阶方阵A可对角化当且仅当对A的每一个
重
特征根
的基础解系恰有
当且仅当
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例判断下列实矩阵能否化为对角阵？
解:
得
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得基础解系
当时，齐次线性方程组为
当时，齐次线性方程组为
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得基础解系
线性无关
即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。
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得基础解系
所以不能化为对角矩阵.
当时，齐次线性方程组为
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例设
问为何值时，矩阵能对角化？
解: 析：此例是定理的应用.
定理表明：
阶矩阵可对角化
有个线性无关特征向量.
由此可推得另一个充要条件：
对的每个不同的特征值，的重数
=对应于的线性无关特征向量的个数
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所以的特征值为 1(二重)， .
对应于单根，可求得线性无关的特征向量1个；
对应于二重特征值 1，若能对角化，则
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要使，则
即
说明
解答此题的关键是将取值条件“ 可对角化”
转化为“二重特征值 1 应满足 ”，
从而求得.
矩阵能否对角化，取决于它的线性无关特征
向量的个数，而与的秩，的行列式都无关.
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:若矩阵A可以对角化,
(1)求出A的所有特征值
其重数分别为
(2)对每一个 , 求出的基础解系 ,
从而得对应的个线性