极大值原理.pdf

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第三章极大值原理
(t) ，满足上列条件，并使性能指标
t
J(u)  [x(t ),t ] f L[x(t), u(t), t)]dt （3-2-5）
f f t
达到极小值。 0 u(t)有界并受不等式约束，与前面讨论的问题不同。
 u(t)有界一般可以考虑为是分段连续函数，对不等式约束则要设法转化
为等式约束处理。
引进新变量Z(t)和w(t)，取
 2 （3-2-6）
[ Z (t )]  g[ x(t ), u(t ), t ], Z (t 0 )  0
（3-2-7）
w (t )  u(t ), w (t 0 )  0
• 取Z 2  g 可以保证g非负；而由u(t)的分段连续性，有
w(t)的分段连续性，则进一步有w(t)分段光滑连续。因此，可以采
用Lagrange乘子法进行求解。

• 分别取Lagrange乘子  R n ，Rr ，  R ，构造p 广义性能指标
T 
J a (u)  [x(t f ), t f ] (t) [x(t f ), t f ]
t
 f {L(x, w , t)  T[ f (x, w , t)  x]  T [g(x, w , t)  Z 2 ]}dt （3-2-8）
t
0
 
定义H(x, , w , t)  L(x,w , t)  T f (x, w , t) （3-2-9）
 
F(x, x, w , Z , , , t)  H(x, , w , t)  T x   T [g(x, w , t)  Z 2 ]
（3-2-10）
则有 t
J (u)  [x(t ),t ] T (t) [x(t ),t ] f F(x, x, w , Z , ,  , t)dt
a f f f f t
0
  （3-2-11）
求其一阶变分有
J  J  J  J  J  （ ）
a t f x w Z 3-2-12

其中
T 
 t f  t f  
J  {  T  Fdt} t {   F }  t
t f t t f f t f f
t f f t f t f
（3-2-13）

 

