文档介绍：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
一、背景
一个随机事件虫的概率P（刈，确切地说，是指在某些给定的条件下，事件虫，该事件的概率一般也随之变化•于是，人们自然提出：如果增加某个条件之出…也〉〉°，则
^(44 …4) = 14)^(4144)
…F(&|必…也)
证明因为戸⑷-戸(4■&)-尸(4&山3)- ■■■-戸(蜕& ■■ ■九・1) >°,依条件概率的定义，上式的右边
坐如竺辺 P(百爲…4)
五、乘法公式的应用例子
［例5］设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下时未打破，第二次落下时打破的概率为7/10,若前两次时未打破，第三次落下时打破的概率为9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率.
解：以心21忆3表示事件“透镜第E次落下时打破”，以占表示事件“透镜三次落下而未打破”・因为E= £九4,故有
= p(4)^(4 14)^(4144)
= (14)(1->-^) = 236
［例6］设袋中装有厂只红球, < ，观察其颜色后放回，，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.
解：以42 “笫i次取到红球”，见凡分别表示事件第三、四次取到白球•所求概率为
尸的)=丄,F(耳出尸丄乞
厂十f r +i + q
尸(41也)
f（瓦 | AAA）=
=F（4）F41 A）m 114A A）
r r^a t t+a
r +i r +i + a r +i + 2a +3a
[例7](卜里耶模型)罐中有b只黑球,厂只红球，随机地取一只之后，把原球放回，并加进与抽出的球同色之球匕只，再摸笫二次，®次出现黑球，后面叫次出现红球概率是多少？
解：以4" 12…心表示事件“第k次取到黑球”，=
表示事件“第刊十丿次取到红球”，则
D 亠（％ _ l）c
b + （冷一 l）c; +厂
…企）
代％214…4田)
r十c
6 + （«L + 1）c 十 r
山一般乘法公式,
W4)
〃⑷P(&⑷
戸(如4理)…戸⑷14…4R
^A+ilA-兔)卩(4申 14 …％+J …14 …4-1)
=h b -l)c
c r 乃■*■(/]_ l)o+厂
r r +c r + («2 -l)c
+ r -^ + («! + l)c + r 占 + (总 _ + 厂
，最后答案与黑球和红球出现的次数有关，而与出现的顺序无
关・
. 当^ = °时,它是有放回的摸球模型.
当c = T时,它是不放回的摸球模型.
思考题：在卜里耶模型中，取"次，问正好出现色次红球概率是多少?
[例8] 一批产品共100件，对其进行抽样调查，整批产品看作不合格的规定是:%是废品，试问该批产品被拒绝接收的概率是多少？
解:设4(— 接收•则乂 =44444且
95 94
F(4)= 一,F(4I4) = —
100 即裁99
93 92
91
二尸（&）尸（如4）戸（&出坨） ?（4l444）m 14444）
95 94 93 92 91 门冲
= =
100 99 98 97 96
因此，该批产品被拒绝接收的概率是0・23。
作业：
P55 EX 29, 30, 31
全概率公式
设4月是两个事件，那么虫可以表示为
A = AB\JAB
显然,肋门廳=0,如果＞ °，则
F(& = F(卫 E) + P(A8)
=|芳)戸(£) +戸(乂 |豆)戸(念)
[例1] 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出的红球的概率是多少？
解:令虫：最后从2号箱中取出的是红球；
占：从1号箱中取出的是红球.
戸3)
4
2^4
2 -
=亍戸3)= 1-戸3)
P(A | B)=
3 + 1
8+1
4 -
= -,P(A\^ =
山上面的公式,
P(A) = 十 P(AB)
=戸(虫*)戸(£)+戸(虫|歹)戸@)
4 1 3 11
=—*— + — *—=—
9 3 9 27
上例采用的方法是概率论中颇为常用的方法，为了求复杂事件的概率，往往可以把它分解成若干个互不相容的简单事件之并，