文档介绍：高斯公式通量与散度
格林公式把平面上的闭曲线积分与
本节的高斯公式表达了空间闭曲面
上的曲面积分与曲面所围空间区域上的
它有明确的物理背景—
三重积分的关系.
所围区域的二重积分联系起来.
通量与散度.
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面积分
解
球
高斯公式
练****br/>14
解
外侧.
?
能否直接用高斯公式
的点(x, y, z)在曲面上,
然后再用高斯公式.
可先用曲面方程将被积函数
因被积函数中
化简,
例
函数P, Q, R在Ω上要具有一阶连续偏导数.
不能！
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有时可
作辅助面,
(将辅助面上的积分减去).
化为闭曲面的曲面积分,
然后利
用高斯公式.
对有的
非闭曲面
的曲面积分,
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例
计算曲面积分
解
柱
高斯公式
补平面Σ1:
下侧.
极坐标
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计算曲面积分
下侧.
的方向余弦.
的
解
空间曲面Σ在xOy面上的
曲面 不是封闭曲
为利用高斯公式.
投影域为Dxy,
补
Σ +Σ1构成封闭曲面,
在Ω上使用高斯公式.
面,
练****br/>是Σ在(x, y, z)处的法向量
其中Σ为
Σ1取上侧,
Σ +Σ1围成空间区域Ω.
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由对称性
先二后一法
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故所求积分为
因为
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被积函数中有抽象函数,
故无法直接计算.
?
如直接计算
分析
用高斯公式.
例
其中Σ是锥面
所围立体的表面外侧.
设 f (u)是有连续的导数, 计算
21
解
由于
故由高斯公式:
=
球
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例设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域Ω上
其中Σ是闭区域Ω的整个边界曲面,
v(x, y, z)沿Σ的外法线方向的方向导数,
称为拉普拉斯(Laplace)算子.
格林第一公式
具有一阶及二阶连续偏导数, 证明
为函数
符号
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证
因为方向导数
是Σ在点(x, y, z)处的外法线向量
的方向余弦.
于是曲面积分
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移项后, 即证.
高斯公式
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解
(如图)
练****br/>计算曲面积分
绕y轴旋转曲面方程为:
一周所成的曲面,
它的法向量与y轴正向的夹角
绕y轴旋转
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取右侧.
有
高斯公式
柱坐标
27
取右侧
故
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二、沿任意闭曲面的曲面积分
为零的条件
在怎样的条件下,
曲面积分
与曲面Σ无关而只取决于Σ的边界曲线？
这问题相当
于在怎样的条件下,
沿任意闭曲面的曲面积分为零？
用高斯公式解决.
1. 连通区域的类型
有空间区域 G
(1) 若G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,
则称G为空间二维单连通域;
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1. 连通区域的类型
(2) 若G内任一闭曲线总可以张成一片以其为边
则称G为空间一维单连通域.
如,
球面所围区域
环面所围区域
立方体中挖去一个小球所成
既是一维
是二维但不是
的区域是一维但不是二维单连通区域 .
有空间区域 G
界的、全属于G的曲面,
也是二维单连通区域 ;
一维单连通区域 ;
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2. 闭曲面积分为零的充要条件

设G是空间二维单连通域，
则曲
P(x, y, z),
Q(x, y, z), R(x, y, z)在G内具有一阶连续偏导数,
面积分
在G内与所取曲面 无关而只取决于 的边界曲线
(或沿G内任一闭曲面的曲面积分为零)的充要条件是
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1. 通量
为向量场
设有一向量场
其中函数P, Q, R具有一阶连续偏导数,
通量.
flux
divergence
穿过曲面Σ这一侧的
三、物理意义通量与散度
有向曲面Σ某一侧的曲面积分:
则称沿场中
有向曲面Σ在点(x, y, z)处的单位法向量
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通量的计算公式
两类曲面积分之间的关系
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例
的通量,
解
为了求曲面Σ上侧的单位法向量,
法向量:
单位法向量:
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例
的通量,
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设在闭区域上有稳定流动的不可压缩流体的
速度场为
 是闭区域的
时间内流体经过曲面 流向指定侧的流体总质量为
则由对坐标的曲面积分的物理意义可知,

其中P, Q, R均具有连续一阶偏导数,
是曲面在点(x, y, z)处的单位法
密度为1,
边界曲面的外侧,
向量,
单位
由两类曲面积分的关系
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若 为方