文档介绍：第六节
Green 公式
Gauss 公式
推广
一、高斯公式
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
*三、通量与散度
高斯公式*通量与散度
第十一章
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一、高斯( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域由分片光滑的闭曲
上有一阶连续偏导数,
或
函数 P, Q, R 在
面所围成,
则有
(Gauss 公式)
的方向取外侧,
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cosa, cosb, cosg 是在点(x,y,z)处法向量的方向余弦.
(Gauss 公式)
下面仅证:
证明: 设
称为XY -型区域,
则
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所以
若不是 XY–型区域,
则可引进辅助面
将其分割成若干个 XY–型区域,
故上式仍成立.
正反两侧面积分正负抵消,
在辅助面
类似可证
三式相加, 即得所证 Gauss 公式:
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例1. 用Gauss 公式计算
其中为柱面
闭域的整个边界曲面的外侧.
解: 这里
利用Gauss 公式, 得
原式=
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
思考: 若改为内侧, 结果有何变化?
若为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
利用质心公式, 注意
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解:
作取上侧的辅助面1:
例2. 计算
其中为
介于平面 z= 0及 z = 2 之间部分的下侧.
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例3. 利用Gauss 公式计算积分
其中为锥面
解: 作辅助面
取上侧
介于z = 0及 z = h
之间部分的下侧, , , 为法向量的方向角.
所围区域为,
则
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利用质心公式, 注意
先二后一
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例4.
设为曲面
取上侧, 求
解:
作取下侧的辅助面
用柱坐标
用极坐标
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在闭区域上具有一阶和
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式
例5. 设函数
其中是整个边界面的外侧.
注意:
高斯公式
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