文档介绍：二、通量与散度
§ 高斯公式通量与散度
一、高斯公式
定理1
设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成 函数
P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上具有一阶连续偏导数
则有
这里是的整个边界的外侧 cos、cos、cos是在点
(x y z)处的法向量的方向余弦
>>>
其中为柱面x2y21及平面z0 z3所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧
这里P(yz)x Q0 Rxy
解
由高斯公式 有
Gauss公式
>>>
为锥面x2y2z2介于平面z0及zh(h>0)之间的部分的下侧 cos、cos、cos是上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦
设1为zh(x2y2h2)的上侧 为与1所围成的空间闭区域 则
解
例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数 是的整个边界曲面 n是的外法线方向 证明
说明:
Gauss公式
例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数 是的整个边界曲面 n是的外法线方向 证明
设与n同向的单位向量为(cos cos cos) 则
证
将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式.
Gauss公式
二、通量与散度
高斯公式的物理意义
高斯公式
其中vnvnPcosQcosRcos
可以简写成
公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域的流体的总质量 左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量
Gauss公式
提示:
其左端表示内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值.
提示:
其左端表示流体在点M的源头强度——单位时间单位体积分内所产生的流体质量 称为v在点M的散度
散度
由积分中值定理得
设的体积为V 由高斯公式得
令缩向一点M(x y z)得
Gauss公式
散度
设某向量场由A(x y z)P(x y z)iQ(x y z)jR(x y z)k 给出 其中P Q R具有一阶连续偏导数 则称
为向量场A的散度记作divA 即
Gauss公式
通量
向量场A(x y z)P(x y z)iQ(x y z)jR(x y z)k的散度
设是场内的一片有向曲面 n是上点(x y z)处的单位法向量 则称
为向量场A通过曲面向着指定侧的通量(或流量)
散度
Gauss公式