基本不等式及其应用.docx

文档介绍：【知识梳理】　
一、基本不等式的应用
基本不等式是证明不等式及求函数最值的重要工具，在新教材中 这一作用体现得更为明显。灵活使用基本不等式是成功解题的关键，使用时要注意“一正、二定、三相等”，下面介绍基本不等式的三种应用 。
（一）直【知识梳理】　
一、基本不等式的应用
基本不等式是证明不等式及求函数最值的重要工具，在新教材中 这一作用体现得更为明显。灵活使用基本不等式是成功解题的关键，使用时要注意“一正、二定、三相等”，下面介绍基本不等式的三种应用 。
（一）直接应用基本不等式
直接应用基本不等式是指题目中已有基本不等式的结构，且满足“一正、二定、三相等”，只需直接运用即可。
例1. 已知a，，求证：。

（二）间接应用基本不等式
间接应用基本不等式是指题中没有基本不等式的结构，或不满足“一正、二定、三相等”，这时需要对已知条件作结构变换，构造基本不等式结构模型，然后再使用基本不等式解题。
例2. 设x>0，求证：。
分析：由题意可知，若直接应用基本不等式，则无法证明，此时需对原不等式进行结构上的变换，创造条件使用基本不等式。

（三）两次应用基本不等式
连续两次应用不等式解题，使用时要注意等号要同时成立。
例3. 已知a，，且a+b=1，求的最小值。

例4. 设a>b>0，求的最小值。

变式题1：若x> -1则x取什么值时x+的值最小？最小值是多少？
变式题2：x>0时的最小值为多少？何时取到？
变式题3：x>0，当x为何值时，取到最大值？最大值是多少？
变式题4：x>-1，当x为何值时，的值最小？最小值是多少？
二、不等式的证明
：
（1）实数大小的比较原则；
（2）不等式的性质；
（3）几个重要不等式，特别是算术——几何平均值不等式
（4）已知函数的增减性；
（5）实系数一元二次方程的根的判别式.
:
⑴比较法：
①作差比较，要点是：作差——变形——判断。
这种比较法是普遍适用的，是无条件的。
根据a－b>0a>b，欲证a>b只需证a－b>0；
②作商比较，要点是：作商——变形——判断。
这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。
当b>0时，a>b>1。比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幂、方根等）。
⑵分析法：就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止。对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径。
这种方法的实质是“充分条件”的化简。分析法证明不等式的逻辑关系是：.分析法的思维特点是：执果索因
⑶综合法：就是从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式。
用综合法证明不等式的关键是适当选择一个已知的不等式，从此出发推出所证结果，怎样选择已知的不等式就适当呢？一般有两条途径。（1）从