文档介绍：函数的周期性和对称性
一、知识梳理＆方法总结
周期性的定义
如果存在一个非零常数 T
，使得对于函数定义域内的任意
x ，都有 f x T
f
x
，
则称 f x 为周期函数；若
设 f ( x) 是定义在 (
,
) 上，以 2 为周期的周期函数，且
f ( x) 为偶函数，在区
间
[2
，3]
上，
f ( x)
2( x
3)
2
4 ,
x
[0,2]时， f ( x)
则
求
的表达式。
【例五】 f x
是定义在 R上的以2
为 周 期 的 函 数 ， 对 k Z ， 用 I k 表 示 区 间
2k
1,2 k 1 ，已知当 x I 0
时， f x
x2 ，求 f x 在 I k 上的解析式。
经典题型三——抽象函数的周期性和对称性
【例六】 （ 1）若 y f 2x 的图像关于直线 x a 和 x b (b a) 对称，则 f x 的一个
2 2
周期为
（ 2）定义在 R 上的函数 f (x) 关于直线 x
1 对称，若 f (x) 是偶函数，且 f ()
2 ，
则 f () ___________.
（3）函数 f (x) 是定义域为 R 的偶函数，又是以
2 为周期的周期函数
. 若 f (x) 在
[
1,0] 上是减函数，那么
f ( x) 在 [2,3] 上是
(
)
A.
增函数 B.
减函数
D.
先减后增函数
经典题型四——周期性和对称性的综合
【例七】若函数
f
x
在 R
上是奇函数，且在区间
1,0
上是增函数，且
f
x
2
f
x
,
则:
1） f x 关于直线 ___________对称；
2） f x 的周期为 ___________；
（ 3） f x 在 (1,2) 是 ___________函数 ( 单调性 ) ；
（ 4） 若 x
0,1 时， f x
x 1，则 f
3
___________.
2
【例八】 已 知
函
数
（f x） 的
定 义 域
为
R，且对一
切 x
R，都有
f x
2
f
2 x
, f
x 7
f 7 x .
（1）若
（f
5）
9
，求
的值；
（f 5）
2
（2）已知 x ［2，7］时， （f x）（ x 2） ，求当 x ［16，20］时，函数
（g x） 2 x （f x）的表达式，并求出 （g x）的最大值和最小值 .
【例九】 已知函数 f (x) 的定义域为 R ，且满足 f ( x 1) 1 f ( x) ．
1 f ( x)
（ 1）试证明函数 2 是 f ( x) 的一个周期；
（ 2）当 x [0,1)时， f ( x) x, 求f x 在 10， 上的表达式
3）对（ 2）中的函数 f ( x) ax有100个根，求 a的取值范围。
三、回顾反思
主要方法 :
由函数周期性及奇偶性 ( 对称性 ) ，求函数解析式 . 由奇偶性结合周期性，将所求区间上问题转化为已知解析式的区间上；数形结合、以形助数是解决本节问题常用的
思想方法；
② 由奇偶性与对称性，求出函数周期；
易错、易漏点 :
① 函数自身的对称性与两个函数之间的对称性不同；
② 注意区分对称性与周期性所满足的函数关系的区