文档介绍：专题五数列
本专题的主要内容是数列的概念、两个基本数列——等差数列、.
考察数列知识时往往与其他知识相联系,(定义在N*),进一步涉及到方程与不等式.
本专题的重点还是在两个基本数列——等差数列、等比数列上,包括概念、通项公式、性质、前n项和公式.
§5-1 数列的概念
【知识要点】
,通过函数的表示方法,来认识数列的表示方法,从而得到数列的常用表示方法——通项公式,即:an=f(n).
——,并由此猜测数列的一个通项公式.
:
Sn=a1+a2+…+an;
.
特别注意对项数n的要求,这相当于函数中的定义域.
【复习要求】
(列表、图象、通项公式).
.
【例题分析】
例1 根据数列的前几项写出该数列的一个通项公式:
(1);
(2)2,-6,18,-54,162;
(3)9,99,999,9999,99999;
(4)1,0,1,0,1,0;
(5);
(6);
【分析】本题需要观察每一项与项数之间存在的函数关系,,但得到的规律不一定正确,可经过证明来验证你的结论.
解:(1) ;
(2)an=2×(-3)n-1;
(3)an=10n-1;
(4);
(5);
(6).
【评析】(1)中分数的考察要把分子、分母分开考察,当然有时分子分母之间有关系;(2)中正负相间的情况一定与(-1)的方次有关;(3)中的情况可以扩展为7,77,777,7777,77777;(4)中的分段函数的写法再一次体现出数列是特殊的函数,也可写成,但这种写法要求较高;(5)中的假分数写成带分数结果就很明显了;(6)中的变换要求较高,可根据分子的变化,变换整个分数,如,根据分子,把变为,其他类似找到规律.
例2 已知:数列{an}的前n项和Sn,求:数列{an}的通项公式an,
(1)Sn=n2-2n+2;(2).
【分析】已知数列前n项和Sn求通项公式an的题目一定要考虑n=1与n≥2两种情况,即:an=Sn-Sn-1不包含a1,实际上相当于函数中对定义域的要求.
解:(1)当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3,则.
(2)当n=1时,
当n≥2时,,此公式也适合n=1时的情况,
则.
【评析】分情况求出通项公式an后,应考察两个式子是否能够统一在一起,如果能够统一还是写成一个式子更加简洁;如果不能统一就要写成分段函数的形式,总之分情况讨论后应该有一个总结性结论.
例3完成下列各题:
(1)数列{an}中,a1=2,则a3=( )
+ln3 +2ln3 +3ln3
(2)已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于( )
A.-165 B.-33 C.-30 D.-21
(3)数列{an}中,,其中a,b为常数,则ab=______.
【分析】本题中三个小题都涉及数列的递推关系,这类问题,最好的办法是给n赋值,通过特殊的项找到一般的规律.
解:(1)∵,
∴a2=a1+ln(1+1)-ln1=2+ln2,
a3=a2+ln(2+1)-ln2=2+ln3,选A.
(2)∵ap+q=ap+aq,∴
∴a3=a2+1=a2+a1=-6-3=-9,
a5=a3+2=a3+a2=-9-6=-15,
a10=a 5+5=a5+a5=-.
(3)∵a1+a2+…+an=an2+bn,∴,
∵,∴,∴ab=-1.
【评析】这种通过特殊的项解决数列问题的方法今后经常用到,希望大家掌握.
例4 已知:函数f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1,,且数列{an}满足f(1)=n2an(n∈N*),求:数列{an}的通项.
【分析】首先要应用f(0)与f(1)这两个条件,由题可看出可能与Sn与an关系有关.
解:由题知:,f(1)=a1+a2+…+an=n2an,
即:Sn=n2an,则Sn-1=(n-1)2an-1(n≥2),
∴an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1(n≥2),
∴(n2-1)an=(n-1)2an-1(n≥2),即:,
∴,
即,∴,
∵当n=1时,上式也成立,
∴.