文档介绍：求求AA的特征值与特征向量的步骤的特征值与特征向量的步骤::
(1) 求出A 的特征多项式 f () E  A ;
(2)解特征方程 f () E  A  0,求出 A的全部
特征值1 ,, n .其中f ( )的 r重根对应 A的 r个相
同的特征值.
(3)求(iE A ) x  0或( A -  i E ) x  0的非零
解,得到A的关于i的全部特征向量.
例2:若 A 的特征值是, x 是 A 的对应于的特征向量,则
(1) kA的特征值是 k. ( k 是任意常数)
(2) Am 的特征值是m. (m是正整数)
(3) 若 A 可逆,则 A1 的特征值是1 . A的特征值是
1
A . 且 x 仍然是矩阵 kA, Am , A1 , A 分别对应于

1
k,  m , 1 , A 的特征向量。

k k1
4.若g( A ) ak A  a k1 A  a 1 A  a 0 E ,则 g () 
k k 1
ak a k1  a 1  a 0是 g( A )对应的特征值。
练****题1: 已知三阶矩阵A的三个特征值为1,2,3,则A的
行列式等于____, A-1的三个特征值为_______,A2+2 A+3E
的三个特征值_______,| A 2 +2 A+3E |=___________.
练****题2: 已知=2 是非奇异矩阵A的特征值,则矩阵
1
 1 
 A2 有一个特征值为____ .
 3 
4 3 1 1
A; B; C; D.
3 4 2 4
1
思考题: A的特征值是 A .

1、设 4阶方阵A满足条件: |3E A|  0, AAT  2 E ,
|A | 0,求 A的一个特征值.
解答: 因为| A | 0, 故A可逆. 由| A  3E | 0 知
1
3是A的一个特征值,从而是A1的一个特征值.
3
又由 AA T  2E 得| AA T || 2E | 16, 即
|A |2 16,于是| A |  4,但| A |  0,因此| A |  4,
4
故A*有一个特征值为.
3
特征向量的性质
结论: 矩阵A关于特征值i的 m个特征向量 x1, x 2 ,, x m
m
的任意非零线性组合还是的关于的特征
 ki x i 0 A  i
i 1
向量.
定理 2: 设 x1, x 2 ,, xr 是矩阵 A的不同特征值所对应
的特征向量,则 x1 , x 2 ,, x r 是线性无关的.
定理 3: 矩阵A的 s个不同特征值所对应的 s组各自线性无关
的特征向量并在一起仍是线性无关的.
一. 相似矩阵的概念
定义: 设A, B 都是 n 阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使得
P1 AP B
则称矩阵 B是矩阵A的相似矩阵,
或称矩阵 A 与矩阵B 相似,记作 A
B
对 A进行运算 P-1 AP 称为对 A 进行相似变换,
可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。
注:1 矩阵相似是一种等价关系
(1)反身性:A
A. (2)对称性:若 A
B 则 B
A.
(3)传递性:若 A
B, B
C , 则 A
C.
A 与B 相似, 则Am 与 Bm 相似( 为正整数).
分析: A ~ B ,则存在可逆矩阵 P ,使 P1 AP B
P1 AA P P  1 AP P  1 AP B 2
A1~ B 1 , A2~ B 2 ,则 k1 A 1 k 2 A 2~ k 1 B 1  k 2 B 2
其中是任意常数.
k1, k 2
1  1  1
分析: P k1 A 1 k 2 A 2 P  k 1 P AP 1  k 2 P A 2 P
定理1: n 阶方阵 A~ B 相似,则有
1 r A r B; 2 A B
3 A 和B 的特征多项式相同,即I A  I  B . 从而 A 和
B 的特征值相同.
1 

推论:若矩阵 A 与对角阵2 相似,
n n 

n 
则1,  2 ,, n 是 A 的n个特征值。
1 2