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数学建模课程论文
题目：血样的分组检验

1．姓名：学号：
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3．姓名：学号：
模型的建立
由问题一的分析得出一次分组每人的化验次数的分布规律为：

则一次分组每人的化验次数的数学期望为：
如何分组才能使每人化验次数最小，也就是求当阳性的先验概率固定时的每组人数为多少时，上式数学期望达到最小值，且必须小于1，其数学模型表达式为：

模型求解
求解时，我们采用线性规划法求解。
当阳性的先验概率固定时，我们把看作自变量，那么数学期望就是一个关于的函数，记作：
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由于在其定义区间上连续且可导，现在我们来求的最值，当的一阶导数等于0时，才可能取得最值。记的一阶导数为，的表达式为：
现令=0，。设是方程的一个解，现在，只要给出一个概率值，算出与对应的值，在这里，最佳分组人数是正整数，所以当是整数时，最佳分组人数为，当不为整数时，取或者，比较，选取较小的为的最优值，运用lingo软件编程（见附件1），来求最佳分组人数。
我们选择在区间有代表性的选择值，得出、、，结果见表1：
表1 不同值下的最佳分组人数和平均每个人的检验次数

317
183
142
112
101
45
32

15
11
8
6
6
5
4

p

4
3
3
3
3
3
3

从表1可以看出，当，应当分组。

模型的建立
利用概率统计知识建立数学概率模型，由期望值知道，如果不分组，每个人都参加检验，每个人平均需要检验一次；如果分组，分组后计算出每个人的平均检验次数小于
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1次，则认为分组比不分组好，需要分组，反之，则不需要分组。
在众多组合的分组中，平均检验次数最小的那种分组则认为这种分组时最优的分组方案。
模型求解
不应分组的条件即要求阳性的先验概率多大时，使得分组后平均每个人化验次数的数学期望大于不分组时平均每个人化验次数。而随着的增加，E(X)变大。所以当时，不应分组检验。即，得。
令，
则
设
则
对两边求对数有:
，
对两边求导有：
即
所以
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即
由此可以看出，当时，，函数单调递减，而时（分组时每组至少要有2人，故有），，函数单调递增，在时（自然对数），，函数取得最大值，此时最大值,
由于实际检验分组时每组的人数只能取整数，不可能取自然对数，故算出接近最大值的两个实际值：
；
；
所以，，
即只有当时，通过调整可以满足分组检验的约束条件
而当时，无论怎么调整都不能满足分组检验的约束条件
所以，当时，就不需要分组。

模型的建立
第一次分组化验：第一次分组组数为，所以第一次分组化验需要的化验次数为次，这组中，化验出阳性的组数应为：组。
下面，再给阳性组进行第二次分组化验：
为了避免混淆，我们将第一次分组化验出阳性的组归为一类，以前每组的个人分为组，每组人，所以有。
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第二次化验：通过以上的分组方法，可以得到的总小组数为：组，故第二次化验需要的次数为：次。
若第二次分组化验时，若检验出某组为阴性，表明该组全体成员全为阴性，不需要重新化验，如为阳性，需要对该组的每个人进行化验，以确定谁是病毒感染者。第二次化验后得到的阳性组数的期望值为：组，每组的人数为人。所以再需要的化验次数为：次。
所以要进行两次分组，总共需要的化验次数为：
又由于总人数，所以可得平均每人需要的化验次数数学模型为：

模型求解
用LINGO编程（具体程序见附件2）求出当在（，）