文档介绍：1 参考教材: 严镇军编《数学物理方法》,中科大出版社评分:作业 30% ,课堂( 5% ),期末 65% Webpage : ./~chenxjin/courses/ 数学物理方程 B 2数学物理方程(简称数理方程) 是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的偏微分方程. 数学物理方程广泛用于研究自然界中的诸多物理现象和普遍规律,比如热传导,弦振动,气体扩散等等. 序言 3 科学、工程问题的求解一般流程实际问题数学物理模型求解模型(方程) 学****基本原理,基本求解方法随着计算机的发展,数值方法已深入到物理、材料科学与加工、信息等各个领域。数值方法分析方法本课仅限介绍数学模型的最基本的分析方法。数学物理方程主要内容三种基本方程、五种基本解法、两个基本原理、两个特殊函数通解法行波法(达朗贝尔公式) 分离变量法(Fourier 级数法)积分变换法格林函数法波动方程热传导拉普拉斯方程贝塞尔函数勒让德函数叠加原理齐次化原理三种基本问题初值问题边值问题混合问题数学物理方程主要内容三种基本方程、五种基本解法、两个基本原理、两个特殊函数通解法行波法(达朗贝尔公式) 分离变量法(Fourier 级数法)积分变换法格林函数法波动方程热传导拉普拉斯方程贝塞尔函数勒让德函数叠加原理齐次化原理三种基本问题初值问题边值问题混合问题化繁为简化难为易 6第1章数学物理中的偏微分方程?偏微分方程的基本概念?三类典型方程及其物理背景?定解条件和定解问题?达朗贝尔公式( D’ Alembert ) ?叠加原理和齐次化原理 7数理方程的基本概念偏微分方程( PDE )的基本概念 1 2 ( , , , ) n x x x x ??自变量 1 2 ( ) ( , , , ) n u x u x x x ??未知函数 1 2 1 1 1 2 ( , , , , , , , , ) 0 nm n m m m n n u u u F x x u x x x x x ? ? ??? ????? ???偏微分方程的一般形式 8 PDE 的阶: 偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶数称为偏微分方程的阶。 1 2 n m m m m ? ???? 1 2 1 1 1 2 ( , , , , , , , , ) 0 nm n m m m n n u u u F x x u x x x x x ? ? ??? ????? ???线性 PDE 非线性 PDE 如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是一次的, 及其系数仅依赖于自变量,就称为线性偏微分方程。如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是一次的, 及其系数仅依赖于自变量,就称为线性偏微分方程。 9 非线性 PDE 半线性 PDE 拟线性 PDE 完全非线性 PDE 10 二阶线性 PDE : 2 1 1 1 1 , 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ), n n ij n j n n n i j j i j j u u a x x b x x c x x u f x x x x x ? ?? ?? ??? ? ?? ?? ???, , , ij j a b c f 其中是给定的函数。线性 PDE 的自由项: 方程中不含未知函数及其偏导数的项称为自由项。当自由项时,称为齐次方程, 否则称为非齐次方程。 0f?主部偏微分方程的解: 古典解: 如果将某个函数 u 代入偏微分方程中,能使方程成为恒等式, 且方程中出现的偏导数都连续,则这个连续函数就是该偏微分方程的古典解。通解: 含有与偏微分方程阶数相同的、相互独立的任意函数(常数)的解。特解: 不含任意函数或任意常数的解。