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高等数学第六版 0)∪(0, 1].
(4) y= 1 ;
4−x 2
解 由 4−x2>0 得 |x|<2. 函数的定义域为(−2, 2).
(5) y=sin x ;
解 由 x≥0 得函数的定义 D=[0, +∞).
(6) y=tan(x+1);
解 由 x +1≠π (k=0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 x ≠kπ + π −1 (k=0, ±1, ±2, ⋅ ⋅
2 2⋅).
(7) y=arcsin(x−3);
解 由|x−3|≤1 得函数的定义域 D=[2, 4].
(8) y= 3− x +arctan 1 ;
x
解 由 3−x≥0 且 x≠0 得函数的定义域 D=(−∞, 0)∪(0, 3).
(9) y=ln(x+1);
解 由 x+1>0 得函数的定义域 D=(−1, +∞).
1
(10) y=e x .
解 由 x≠0 得函数的定义域 D=(−∞, 0)∪(0, +∞).
7. 下列各题中, 函数 f(x)和 g(x)是否相同？为什么？
(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x;
(2) f(x)=x, g(x)= x2 ;
(3) f (x)= 3 x 4 − x3 , g(x)= x3 x −1.
(4)f(x)=1, g(x)=sec2x−tan2x .
解 (1)不同. 因为定义域不同.
(2)不同. 因为对应法则不同, x<0 时, g(x)=−x.
(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.
(4)不同. 因为定义域不同.
⎧|sin x| |x|<π
⎪ 3 π π π
8. 设ϕ(x)= ⎨ , 求ϕ( ) , ϕ( ) , ϕ(− ) , ϕ(−2), 并作出函数 y=ϕ(x)
⎪0 |x|≥π 6 4 4
⎩ 3
的图形.
解 ϕ(π )=|sin π |= 1 , ϕ(π )=|sin π |= 2 , ϕ(−π )=|sin( −π )|= 2 , ϕ (−2)=0 .
6 6 2 4 4 2 4 4 2
9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:
(1) y= x , (−∞, 1);
1−x
(2)y=x+ln x, (0, +∞).
证明 (1)对于任意的 x1, x 2∈(−∞, 1), 有 1−x1>0, 1−x 2>0. 因为当 x 1<x 2 时,x1 x2 x1 − x2
y1 − y2 = − = <0 ,
1− x1 1− x2 (1− x1)(1− x2)
所以函数 y= x 在区间(−∞, 1)内是单调增加的.
1−x
(2)对于任意的 x1, x 2∈(0, +∞), 当 x1<x2 时, 有
x1
y1 − y2 = (x1 + ln x1)−(x2 +ln x2)= (x1 − x2)+ln < 0,
x2
所以函数 y=x+ln x 在区间(0,