文档介绍：高等数学第六版上册课后****题答案第一章****题111设A(5)(5)B[103)写出ABABAB及A\(AB)的表达式解AB(3)(5)AB[105)AB(10)(5)A\(AB)[105)2 设A、B是任意两个集合证明对偶律(AB)CACBC证明因为所以x(A B)C(A B)CAC3 设映射f XxA B xA或xBBCYA XBX 证明xAC或xBCxACBCf(AB)f(A)f(B)f(AB)f(A)f(B)证明因为yf(AB)xAB使f(x)y(因为xA或xB)yf(A)或yf(B)yf(A)f(B)所以f(AB)f(A)f(B)(2)因为yf(AB)xAB使f(x)y(因为xA且xB)yf(A)且yf(B)yf(A)f(B)所以f(AB)f(A)f(B)4设映射fXY若存在一个映射gYX使gfIXfgIY其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射即对于每一个xX有IXxx对于每一个yY有IYyy证明f是双射且g是f的逆映射gf1证明因为对于任意的yY有xg(y)X且f(x)f[g(y)]Iyyy即Y中任意元素都是X中某元素的像所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x1x2必有f(x1)f(x2)否则若f(x1)f(x2)g[f(x1)]g[f(x2)]x1x2因此f既是单射又是满射即f是双射对于映射gYX因为对每个yY有g(y)xX且满足f(x)f[g(y)]Iyyy按逆映射的定义g是f的逆映射5设映射fXYAX证明(1)f1(f(A))A1(f(A))A(2)当f是单射时有ff1(y)xf1(f(A))证明(1)因为xAf(x)yf(A)所以f1(f(A))A(2)由(1)知f1(f(A))A1(f(A))使f1(y)x另一方面对于任意的xf存在yf(A)f(x)y因为yf(A)且f是单射所以xA这就证明了f1(f(A))A因此f1(f(A))A求下列函数的自然定义域(1)y 3x 2解由3x20得x(2)y1x21解由1x20得x(3)y11x2x2函数的定义域为[2,)331函数的定义域为( 1) (11) (1 )解由x0且1x2得函数的定义域D[10)(01]0(4)y1x2由4x20得|x|2函数的定义域为(22)(5)ysinx解由x0得函数的定义D[0)(6)ytan(x1)解由x12(k012)得函数的定义域为xk21(k012)(7)yarcsin(x3)解由|x3|1得函数的定义域D[24]y3xarctan1x解由3x0且x0得函数的定义域D(0)(03)(9)yln(x1)解由x10得函数的定义域D(1)1yex解由x0得函数的定义域 D( 0) (0 )下列各题中函数f(x)和g(x)是否相同?为什么?(1)f(x)lgx2g(x)2lgx(2)f(x)xg(x)x2(3)f(x)3x4x3g(x)x3x1(4)f(x)1g(x)sec2xtan2x解(1)不同因为定义域不同(2)不同因为对应法则不同x0时g(x)x(3)相同因为定义域、对应法则均相相同(4)不同因为定义域不同8|sinx||x|3求()()()(2)并作出函数y(x)设(x)0|x|3644的图形解()|sin|1()|sin|2()|sin()|2(2)0662442442试证下列函数在指定区间内的单调性(1)y1x(1)x(2)yxlnx(0)证明(1)对于任意的x1x2(1)有1x101x20因为当x1x2时x1x2x1x2y1y21x1x2(1x)(1x)0112所以函数yx在区间(1)内是单调增加的1x(2)对于任意的x1x2(0)当x1x2时有yy2(xlnx)(xlnx)(xx)lnx101112212x2所以函数yxlnx在区间(0)内是单调增加的10设f(x)为定义在(ll)内的奇函数若f(x)在(0l)内单调增加证明f(x)在(l0)内也单调增加证明对于x1x2(l0)且x1x2有x1x2(0l)且x1x2因为f(x)在(0l)内单调增加且为奇函数所以f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)这就证明了对于x1x2(l0)有f(x1)f(x2)所以f(x)在(l0)内也单调增加11设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(ll)上的证明(1)两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明(1)设F(x)f(x)g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以F(x)为奇函数 即两个奇函数的和是奇函数(2)设F(x)