D5_4反常积分.ppt

文档介绍：二、无界函数的反常积分
第四节
常义积分
积分限有限
被积函数有界
推广
一、无穷限的反常积分
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反常积分
(广义积分)
反常积分
第五章
定积分的讨论对象是有限区间上的有界函数,
但在一些实际问题中还常会遇到积分区间为无穷区间,
或被积函数在积分区间上有无穷间断点,即函数是
无界函数的问题。因此需要对定积分的概念加以推广,
从而形成的了“反常积分”或“广义积分”的概念。
一、无穷限的反常积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
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定义1. 设
若
存在,
则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分,
记作
这时称反常积分
收敛;
如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散.
类似地, 若
则定义
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则定义
( c 为任意取定的常数)
只要有一个极限不存在, 就称
发散.
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
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引入记号
则有类似牛–莱公式的计算表达式:
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例2 计算广义积分
解
例1
解原式
广义积分即为
定积分的极限值
解原式
例1. 计算反常积分
解:
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思考:
分析:
原积分发散!
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用
“偶倍奇零”的性质,
否则会出现错误.
所以,此广义积分发散。
×
因为
解原式
错误
另解原式