D5_4反常积分(合工大).ppt

文档介绍：一、无穷限的反常积分

和直线
及x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为

若
存在,
则称此极限为f(x)的无穷限反常积分,
记作
这时称反常积分
收敛;
如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散.
类似地,若
则定义
则定义
(c 为任意取定的常数)
只要有一个极限不存在,就称
发散.
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
并非不定型,
说明:上述定义中若出现
它表明该反常积分发散.
引入记号
则有类似牛–莱公式的计算表达式:

解:
思考:
分析:
原积分发散!
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用
“偶倍奇零”的性质,
否则会出现错误.
积分
证:当 p=1 时有
当 p ≠ 1 时有
当 p>1时收敛;p≤1
时发散.
因此,当 p >1时,反常积分收敛,其值为
当p≤1时,反常积分发散.

解:
二、无界函数的反常积分
引例:曲线
所围成的
与x 轴,y 轴和直线
开口曲边梯形的面积
可记作
其含义可理解为

而在点a 的右邻域内无界,
存在,
这时称反常积分
收敛;
如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散.
类似地,若
而在b 的左邻域内无界,
若极限
数f (x)在[a ,b]上的反常积分,记作
则定义
则称此极限为函
若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
说明:
而在点c 的
无界函数的积分又称作第二类反常积分,
无界点常称
邻域内无界,
为瑕点(奇点) .
例如,
间断点,
而不是反常积分.
则本质上是常义积分,
则定义