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复变函数学****指导书
第一章复数与复变函数
1. 内容提要复数及其表示复数的概念
形lim[fz-gz]=AB,lim[fzi；gz]=A启,lim[-~~]=—
—zozRo—zogzb
若limfz=fz0,称fz在z0处连续.
函数fz=ux,y亠ivx,y在z0=x0-iy0处连续的充要条件ux,y,vx,y在x0,y0处同时连续.
连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连续函数；连续函数的复合函数仍为连
续函数。
，熟练掌握复数的各种表示法及其转化;2•掌握复数的各种运算(加、减、乘、除、乘方和开方，共轭)及其几何意义；3•了解区域、有界与无界、单连域与多连域等概念；掌握用复数方程表示平面曲线以及用不
3. 等式表示平面区域；4•理解复变函数与映射的概念；了解复变函数与二元实函数的对应关系；了解复变函数的极限与连续的概念；了解复变函数的极限和连续与实变函数的极限和连续
之间的区别与联系。
本早重点：
(1) 复数的各种运算；
(2) 复数的各种表示法及其转化；
(3) 复变函数及其映射的概念；
本章难点：
(1) 平面曲线与平面区域的复数表示;
(2) 映射的概念。
1. 典型例题分析例1将复数Z="知'2-2')化为三角式和复指数表示式。
心—i曙+2i)解法
.3'2_2iz二、3-i22i
2—2i
16(、、3-i),3
322
1 _
_2(応
z=1,argz=arctan=arctan——
區V3
2
(JI'
fJI[
z=cos——
+isin
—
I6丿
16丿
所以有三角表示式:
复指数表示式:
解法二：因为
、、3i2-2i(石—i)(2+2i)
所以
z
73+i|2—2i73-i2+2i
由上可得
V3+i2-2i
Argz=ArgArg-
丁3-i2+2i
二Arg、、3•iArg、、3-i[亠Arg2「2i「Arg22i
JIK
2 k2kc,k：-J
，
z=cos-一isin-一=e
I 6丿I6丿
例2求方程z4T-3i=0的根。
解：因为
xr
■f
2■:
2■:
_1•'、3
H=2cos
i
sin
I
3
3
4z
2二
所以
z
3
2k二
isin
2kr:
,(k
=0,1,2,3)
z0
4-2|cosisin-I66
2二cosisinI3
Z2
isin
45：■2Icos
isin
这四个根位于中心在原点，半径为的圆内接正四边形的四个顶点上,
且相邻两个幅角相差
—，即卩z1=izo,z2=iz勺=-Zo,z3=iz2=-iz°。如图(1-2)所示2
例3证明乙一z2兰乙一z2
证：本题用几何方法证明是显然的，现用代数方法证明如下
、2—因为乙一Z2=(Zi—Z2)(乙一Z2)=(Zi—Z2)(Zi—Z2)
二ziWZ2Z2—(ZiZ2Z1Z2)
由于z1z2与z1z2是共轭复数，所以ZtZ2亠召z2=2Rez1z2，代入上式得
2Z1—Z2
Z1
Z2
Z1
Z2
-2Rez1z2
(1)
=(Z1-Z2)(|w|-韵)=(Z1
Z2
Z1
2Z2
-2zj|Z2
比较（1）与（2）式，从而
注意到Re(wz2)兰wz2=zj|z2
2J
Z1—Z2
-lz1
—
Z2
2开方后，得乙一z2兰乙一z2。例4试确定不等式z+Re（z）^1所表示的区域，并作图。
解：设z=x亠iy,由题意，,；x亠y亠x"：：1。解此不等式，得y?乞1—^2x。
这是一个由抛物线所围成的无界闭区域。如图（1-3）所示例5问函数w=z2把
（1）平行于z平面虚轴的直线及虚轴映射到w平面上什么图形？
（2）z平面上z<2的区域映射到w平面上什么图形？
（3）z平面上区域0乞argz_—映射到w平面上什么图形？
4解：（1）因为w=z?=x-寸2xyi，所以u=x—y2,v=2xy而平行于虚轴的直线及虚轴的直线方程为x=k，则2当k=0时，把x=k代入u=x-y[v=2xy，得u=,4k即v2二-4k2（u-k2）这是一条抛物线。
「u兰0、当k=0时，则v=0，此时u=-y_0，即，这是包括原点在内的负实轴。
Jv=0如图（1-4）所示
（2）因为z<2，所以w=z2
2z<4,故圆域