文档介绍：《每周一讲》高中系列第七讲
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阿波罗尼斯圆
适用题型
已知两个线段长度之比为定值；
过某动点向两定圆作切线，假设切线张角相圆；
当a=1时，P点的轨迹为y轴.
《每周一讲》高中系列第七讲
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例3 〔2005江苏高考数学〕如图，圆与圆的半径都是1，，、PN〔〕，使得试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程
解：以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则〔-2，0〕，〔2，0〕，
由已知，得
因为两圆的半径均为1，所以
设，则，
即，
所以所求轨迹方程为〔或〕
例4 〔2006四川高考理〕已知两定点、，如果动点P满足，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于〔〕
〔B〕〔C〕〔D〕
解：B
例5 〔2008江苏高考〕，则的最大值为________.
答案：
变形：，则的最大值为________.
答案：
例6 设点依次在同一直线上，，已知点在直线外，满足，试确定点的几何位置。
解：先作线段关于2:1的阿氏圆，再作线段关于3:2的阿氏圆，两圆交点即为点，同时该点关于直线
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的对称点也为所求。
例7 〔2011年南通一模〕已知等腰三角形一腰上的中线长为，则该三角形面积的最大值为__________.
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例8 〔2013江苏高考〕如图，在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．
〔1〕假设圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
〔2〕假设圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
x
y
A
l
O
解：〔1〕联立：，得圆心为：C(3，2)．
设切线为：，
d＝，得：．
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故所求切线为：．
〔2〕设点M(x，y)，由，知：，
化简得：，
即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．
又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切．
故：1≤|CD|≤3，其中．
解之得：0≤a≤．
例9 圆不等且外离，现有一点，它对于所张的视角与对于所张的视角相等，试确定点的几何位置
答案：做圆的内、外公切线，分别交连心线于点，以线段为直径的圆，就是线段关于的阿氏圆，该圆上任意一点都符合要求。
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例10 在轴正半轴上是否存在两个定点、，使得圆上任意一点到、两点的距离之比为常数？如果存在，求出点、坐标；如果不存在，请说明理由。
解：假设在轴正半轴上是否存在两个定点、，使得圆上任意一点到、两点的距离之比为常数，设、、，其中。
即对满足的任何实数对恒成立，
整理得：，将代入得：
，这个式子对任意恒成立，所以一定有：
，因为，所以解得：、。
所以，在轴正半轴上是否存在两个定点、，使得圆上任意一点到、两点的距离之比为常数。
例11 铁路线上线段km，工厂到铁路的距离km。现要在、之间某一点处，向修一条公路。已知每吨货物运输km的铁路费用与公路费用之比为，为了使原料从供应站运到工厂的费用最少，点应选在何处？
解：建立如下列图直角坐标系，
先求到定点、的距离之比为的动点的轨迹方程，
即：
，整理即得动点的轨迹方程：
，
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令，得〔舍去正值〕即得点。
下面证明此点即为所求点：
自点作延长线的垂线，垂足为，在线段上任取点，连接，再作于。
设每吨货物运输km的铁路费用为，
则每吨货物运输km的公路费用为，
如果选址