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阿波罗尼斯圆
阿波罗尼斯圆
适用题型
已知两个线段长度之比为定值;
过某动点向两定圆作切线,若切线张角相等;
向量的定比分点公式结合角平分线;
线段的倍数转化;
基本理论
阿波罗尼斯定理(又称中线长公式)
设三角形的三边长分别为,中线长分别为,则:
阿波罗尼斯圆
一般地,平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”
化简得:
轨迹为圆心的圆
阿波罗尼斯圆的性质
满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比内分和外分所得的两个分点;
直线平分,直线平分的外角;
;
若是切线,则与的交点即为;
若点做圆的不与重合的弦,则平分;
补充说明
关于性质1的证明
定理:为两已知点,分别为线段的定比为的内、外分点,则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比等于常数。
证明:不妨设
由相交弦定理及勾股定理得:
从而同时在到两点距离之比等于的曲线(即圆)上,而不共线的三点所确定的圆是唯一的,因此圆上任意点到两点距离之比等于常数。
关于性质6的补充
若已知圆及圆外一点,则可作出与点对应的点,只要过点作圆两条切线,切点分别为,连结与即交于点。反之,可作出与点对应的点
典型例题
例1(教材例题)已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线。
解:设点是曲线上任意一点,则,整理即得到该曲线的方程为:。
例2(2003北京春季文)设为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值,求P点的轨迹.
解:设动点P的坐标为(x,y)
由.
化简得
当,整理得.
当a=1时,化简得x=0.
所以当时,P点的轨迹是以为圆心,为半径的圆;
当a=1时,P点的轨迹为y轴.
例3(2005江苏高考数学)如图,圆与圆的半径都是1,,、PN(分别为切点),使得试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程
解:以的中点O为原点,所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则(-2,0),(2,0),
由已知,得
因为两圆的半径均为1,所以
设,则,
即,
所以所求轨迹方程为(或)
例4(2006四川高考理)已知两定点、,如果动点P满足,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()
(B)(C)(D)
解:B
例5(2008江苏高考),则的最大值为________.
答案:
变形:,则的最大值为________.
答案:
例6设点依次在同一直线上,,已知点在直线外,满足,试确定点的几何位置。
解:先作线段关于2:1的阿氏圆,再作线段关于3:2的阿氏圆,两圆交点即为点,同时该点关于直线的对称点也为所求。
例7(2011年南通一模)已知等腰三角形一腰上的中线长为,则该三角形面积的最大值为__________.
例8(2013江苏高考)如图,在平面直角坐标系中,点,,圆心在上.
(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;
(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.
x
y
A
l
O
解:(1)联立:,得圆心为:C(3,2).
设切线为:,
d=,得:.
故所求切线为:.
(2)设点M(x,y),由,知:,
化简得:,
即:点M的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D.
又因为点在圆上,故圆C圆D的关系为相交或相切.
故:1≤|CD|≤3,其中.
解之得:0≤a≤.
例9圆不等且外离,现有一点,它对于所张的视角与对于所张的视角相等,试确定点的几何位置
答案:做圆的内、外公切线,分别交连心线于点,以线段为直径的圆,就是线段关于的阿氏圆,该圆上任意一点都符合要求。
例10
在轴正半轴上是否存在两个定点、,使得圆上任意一点到、两点的距离之比为常数如果存在,求出点、坐标;如果不存在,请说明理由。
解:假设在轴正半轴上是否存在两个定点、,使得圆上任意一点到、两点的距离之比为常数,设、、,其中。
即对满足的任何实数对恒成立,
整理得:,将代入得:
,这个式子对任意恒成立,所以一定有:
,因为,所以解得:、。
所以,在轴正半轴上是否存在两个定点、,使得圆上任意一点到、两点的距离之比为常数。
例11铁路线上线段km,工厂到铁路的距离km。现要在、之间某一点处,向修一条公路。已知每吨货物运输km的铁路费用与公路费用之比为,为了使原料从供应站运到工厂的费用最少,点应选在何处
解:建立如图所示直角坐标系,
先求到定点、的距离之比为的动点的轨迹方程,
即:
,整理即得动点的轨迹方程:
,
令,得(舍去正值)即得点。
下面证明此点即为所求点:
自点作延长线的垂线,垂足为,在线段上任取点,连接,再作于。
设每吨货物运输km的铁路费用为,
则每吨货物运输km的公路费用为,
如果选址在处,那么总运输费用为,
而∽∽
∴
∴
那么总费用,
当且仅当点、、共线时取等号
总上所述,点即为所求点
例12已知点,点分别为圆及直线上一点,则的最小值为_________.
答案:7
例13中,,的角平分线,且满足,则的最大值为____________.
答案:3