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1、已知两个线段长度之比为定值;
2、过某动点向两定圆作切线,若切线张角相等;
3、向量的定比分点公式结合角平分线;
4、线段的倍数转化;
1=1
(一)阿波罗尼斯定理(又称中线长公式)设三角形的三边长分别为a,b,c,中线长分别为叫叫叫则:
(二)阿波罗尼斯圆
般地,平面内到两个定点距离之比为常数 (1)的点的轨迹是圆,此圆被叫做
阿波罗尼斯圆”
212
化简得:X 2J
2
2
213y
21a
、21
轨迹为圆心—一a,o,半径为
2
1a
的圆
(三)阿波罗尼斯圆的性质
2
1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比得的两内分AB和外分AB所个分点;
2、直线CM平分ACB,直线CN平分ACB的外角;
3、 1时,点B在圆0内;0 1,点A在圆0内;
4、若AC,AD是切线,则CD与AO的交点即为B;
5、若点B做圆O的不与CD重合的弦EF,则AB平分EAF;
三、补充说明
1、关于性质1的证明
定理:代B为两已知点,P,Q分别为线段AB的定比为为直径的圆0上任意点到代B两点的距离之比等于常数证明:不妨设1
1的内、夕卜分点,则以PQ
由相交弦定理及勾股定理得:
从而P,Q,C同时在到A,B两点距离之比等于的曲线圆)
上,而不共线的三点所确定的圆是唯一的,因此
上任意点到A,B两点距离之比等于常数。
(即
圆0
2、关于性质6的补充
若已知圆0及圆0夕卜一点A,则可作出与点A对应的点B,只要过点A作圆0两条切线,切点分别为C,D,连结CD与AQ即交于点B。反之,可作出与点B对应的点A
四、典型例题
例1(教材例题)已知一曲线是与两个定点0(0,0)、A(3,0)距离的比为1的点的轨
2
解:设点M(x,y)是曲线上任意一点,则,(x3)2
1,整理即得到该曲线的方程为:
迹,求此曲线的方程,并画出曲线。
(x1)2y2 4。
例2(2003北京春季文)设人(c,0),B(c,0)(c
0)为两定点,动点P到A点的距离与
到B点的距离的比为定值a(a0),求P点的轨迹.
解:设动点P的坐标为(x,y)
由瞬a(a0),得(xc)化简得(1a2)x22c(1a
2)xC2(1 a2) (1a2)y2
0.
a、2
(斧)2
ak
当a=1时,化简得x=0.
所以当a1时,P点的轨迹是以车19°)为圆心,孥 11为半径的圆;
当a=1时,P点的轨迹为y轴.
例3(2005江苏高考数学)如图,圆。与圆。2的半径都是1,OO4,过动点P分别作圆O•圆o的切线PMPN( 12
1 2 _ — M
点),使得PM2PN+试建立适当的坐标系,并求动点P的
轨迹方程.
°1 02
解:以OO的中点O为原点,Of?所在的直线为X轴,系,则建立平面直角坐标
O(-2,0),O(2,0), 12
12
由已知PM2PN,得PM22PN2・
N
o2X
因为两圆的半径均为
1,所以
o1
设P(x,y),则(x2)2
2[(x2)2
y21],
即(x6)2y2 33,
所以所求轨迹方程为
(X6)2 y2 33.
(或X2y2
12x3
例4(2006四川高考理)已知两定点A(2,0)、B(1,0),如果动点P满足
PA=2PB,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()
(A)p(B)4p (C)8p (D)9p
解:B
例5(2008江苏高考)ABC中,AB2,AC2BC,则S的最大值为
ABC
答案:
1=1
变形:ABC中,AB4,CA:CB53,则S的最大值为
ABC
答案:15
1=1
2
例6设点A,B,C,D依次在同一直线上,AB6,BC3,CD2,已知点P在直线
AD外,满足APBBPCCPD,试确定点P的几何位置。
解:先作线段AC关于2:1的阿氏圆,再作线段BD关于3:2的阿氏圆
1
两圆交点即为点P,同时该点关于直线AD的对称点也为所求
例7(2011年南通一模)已知等腰三角形一腰上的中线长为,则该三角形面积的最大值为 .
例8(2013江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线I:y2x4•设圆C的半径为1,圆心在I上.
(1)若圆心C也在直线yx1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)
若圆C上存在点M,使MA2MO,求圆心C的横坐标a
的取值范围.
解:(1)联立:yX 1
得圆心为:c(3,2).
y2x4
y
设切线为:y kx
3, *A
I
d_|3k32| r
1,得:k 0ork
x
\1k2
故所求切线为:
3x3・
y
0Ory 4
⑵设点Mx,y),由MA2MO,知:.x2(y3)2 ,
化简得:X2 (y1)2 4,
即:点M的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,,故圆C圆D的关系为相交或相切.
故:K|CD<3,其中CDJa2 (2a3)2・
解之得:0waw.
例9圆O十圆02不等且外离,现有一点P,它对于圆0]所张的视角与对于圆02所张的视角相等,
1212
试确定点P的几何位置
答案:做圆0『圆02的内、外公切线,分别交连心线0Q2于点A,B,以线段AB为直径的圆,就是线段OQ2关于da的阿氏圆,该圆上任意一点都符合要求。
12
例10在x轴正半轴上是否存在两个定点A、B,使得圆X2y4上任意一点到A、B两点的距离之比为常数-?如果存在,求出点A、B坐标;如果不存在,请说明理由。
2
解:假设在x轴正半轴上是否存在两个定点A、B,使得圆x2y24上任意一点到A、
1
B两点的距离之比为常数-,设P(x,y)、人(心0)、B(X2,0),其中X2X!0o
即一以xj寸2对满足x2y2 4的任何实数对(x,y)恒成立,
v(xxjy
整理得:2x(4xTX2)X/X] 3(xy),将xy 4代入得:
22
2x(4xix2)x24xi
12,这个式子对任意x
[2,2]恒成立,所以一定有:
P(x,y)的轨迹方程:
3
3,整理即得动点
D(15,0)DA15,DC25
15(舍去正值)即得点
4为x2 0
2 ,因为X/ 0,所以解得:xi
22211
x4捲12
所以,在x轴正半轴上是否存在两个定点A(1,0)、B(4,0),使得圆x2y24上任意一点
1
到A、B两点的距离之比为常数-。
例11铁路线上线段AB100km工厂C到铁路的距离CA20km。现要在A、B之间某一点D处,向C修一条公路。已知每吨货物运输1km的铁路费用与公路费用之比为3:5,
为了使原料从供应站B运到工厂C的费用最少,点D应选在何处?解:建立如图所示直角坐标系,
先求到定点A、C的距离之比为3的动
5
点P(x,y)的轨迹方程,
即:
22
4x4y90y900
令y0,得x
F面证明此点D即为所求点:
自点B作CD延长线的垂线,垂足为E, 在线段BA上任取点D1,连接CD1,再作
11
D巨BE于即
设每吨货物运输1km的铁路费用为3k(k0),
则每吨货物运输1km的公路费用为5k,
,那么总运输费用为y3kBD5kDQ(3BD5DC)k,i , , ,
而BEDsBEDCAD
ii S
•_BD!CD25 5
…EDAD15 3
ii
•3BD5ED
iii
那么总费用y(3BDi5DiC)k(EiDiDiC)5k(CDDE)5k5kCE,
当且仅当点C、D.、
ii
总上所述,点D即为所求点
,4,点代B分别为圆x42y42 ,
则AB2AP的最小值为・
答案:7
,BC3,AD为A的角平分线,且满足ad-abac,则Sabc的最大
33
值为 .
答案:3