文档介绍：微分方程解法及应用
第十二章
二、一阶微分方程求解
三、线性微分方程解的性质
四、二阶微分方程求解
一、微分方程的概念
五、微分方程的应用问题
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一、微分方程的概念
:含未知函数及其导数的等式叫做微分方程.
实质:联系自变量,未知函数及其导数的等式.
区别:与以往学习的代数方程的区别是:代数方程是含未知数的等式,微分方程是含未知函数及其导数的等式.
常微分方程:所含未知函数是一元函数.
偏微分方程:
注:本章只讨论常微分方程
分类1
:方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.
所含未知函数是多元函数.
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( n 阶显式微分方程)
分类2
或
一阶方程:
二阶方程:
n阶方程:
分类3
线性方程:
非线性方程:
分类4
单个微分方程:
微分方程组:
(本章内容)
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—使方程成为恒等式的函数.
通解
—解中所含独立的任意常数的个数与方程
的阶数相同.
特解

—通解中的任意常数被确定后的解.
—确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):

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过定点的积分曲线;
一阶:
二阶:
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
: 求微分方程满足初始条件的解的问题.

特解: 微分方程的一条积分曲线.
通解: 积分曲线族.
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:
二、一阶微分方程求解
2. 一阶标准类型方程求解
关键: 辨别方程类型, 掌握求解步骤
五个标准类型:
可分离变量方程,
齐次方程,
线性方程, 贝努利方程,
全微分方程
3. 一阶非标准类型方程求解---变量代换法
代换自变量,代换因变量,
代换某组合式化为可求解的.
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★一阶标准类型方程的形式及求解方法
(1)可分离变量方程
标准形式:
解法:
分离变量法
1)分离变量;
2)两端积分-------隐式通解.
步骤:
(2)齐次型方程
标准形式:
解法:
步骤:
变量代换法
代入原方程得:
即
则
即
求此可分离变量方程的解,
并回代
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(3)一阶线性方程
标准形式:
解法:
1)先解齐次方程, 再用常数变易法
2)通解公式法:
(4)全微分方程
标准形式:
解法:
求原函数法
步骤:
方法1 凑微分法;
方法3 利用积分与路径无关的条件.
1) 求原函数 u (x, y)
2)由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
方法2 偏积分法;
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解法:
变形为
令
从而有
代入原方程得
这是关于
的一阶线性微分方程.
求出通解后将
代入即得
的通解.
标准形式:
(5)贝努利方程
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例1. 求下列方程的通解
解: (1)
故为分离变量方程:
通解为:
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