文档介绍：高三数学专题(六)
解析几何题怎么解
高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识, 这点值得考生在复课时强化.
例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点,AB=2、OT=t (0<t<1),以AB为直腰作直角梯形,使垂直且等于AT,使垂直且等于BT,交半圆于P、Q两点,建立如图所示的直角坐标系.
(1)写出直线的方程;
(2)计算出点P、Q的坐标;
(3)证明:由点P发出的光线,经AB反射后,反射光线通过点Q.
讲解: 通过读图, 看出点的坐标.
(1 ) 显然, 于是直线
的方程为;
(2)由方程组
解出、;
(3),
.
由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知,由点P发出的光线经点T反射,反射光线通过点Q.
需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?
例2 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q,且与x轴、y轴分别交于R、S,求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.
讲解:从直线所处的位置, 设出直线的方程,
由已知,直线l不过椭圆的四个顶点,所以设直线l的方程为
代入椭圆方程得

化简后,得关于的一元二次方程

于是其判别式
由已知,得△=①
在直线方程中,分别令y=0,x=0,求得
令顶点P的坐标为(x,y), 由已知,得
代入①式并整理,得, 即为所求顶点P的轨迹方程.
方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?
例3已知双曲线的离心率,过的直线到原点的距离是
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值.
讲解:∵(1)原点到直线AB:的距离.
故所求双曲线方程为
(2)把中消去y,整理得.
设的中点是,则

即
故所求k=±.
为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.
例4 已知椭圆C的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,点P为椭圆上的一个动点,且∠F1PF2的最大值为90°,直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点,△ABF2的面积最大值为12.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)求椭圆C的方程.
讲解:(1)设, 对由余弦定理, 得
,
解出
(2)考虑直线的斜率的存在性,可分两种情况:
i) 当k存在时,设l的方程为………………①
椭圆方程为
由得.
于是椭圆方程可转化为………………②
将①代入②,消去得,
整理为的一元二次方程,得.
则x1、
,
也可这样求解:

,
AB边上的高

ii) 当k不存在时,把直线代入椭圆方程得

由①②知S的最大值为由题意得=12 所以
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为:
下面给出本题的另一解法,请读