文档介绍：2013年考研数学二真题及答案
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．设，当时， （ ）
（A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小
（C）与同阶但不等价无穷小 （D）与等价无积，若，求的值．
17．（本题满分10分）
设平面区域D是由曲线所围成，求．
18．（本题满分10分）
设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：
（1）存在，使得；
（2）存在，使得．
19．（本题满分10分）
求曲线上的点到坐标原点的最长间隔 和最短间隔 ．
20．（本题满分11）
设函数
⑴求的最小值；
⑵设数列满意，证明极限存在，并求此极限．
21．（本题满分11）
设曲线L的方程为．
（1）求L的弧长．
（2）设D是由曲线L，直线及轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标．
22．本题满分11分）
设，问当为何值时，存在矩阵C，使得，并求出全部矩阵C．
23（本题满分11分）
设二次型．记．
（1）证明二次型对应的矩阵为 ；
（2）若正交且为单位向量，证明在正交变换下的标准形为 ．
1.【详解】明显当时，故应当选（C）．
2. 【分析】本题考察的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义．
【详解】将代入方程得，在方程两边求导，得，代入，知．
，故应当选（A）．
3. 【详解】只要留意是函数的跳动连续点，则应当是连续点，但不行导．应选（Ｃ）．
4.【详解】，
其中当且仅当时才收敛；
而第二个反常积分，当且仅当才收敛．
从而仅当时，反常积分才收敛，故应选（Ｄ）．
5. 【详解】．应当选（A）．
6. 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
所以，应当选（B）．
7. 【详解】把矩阵A，C列分块如下：，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示．同时由于B可逆，即，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应当选（B）．
8. 【详解】留意矩阵是对角矩阵，所以矩阵A=与矩阵相像的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．
从而可知，即，为随意常数，故选择（B）．
9.【详解】．
10. 【详解】由反函数的求导法则可知
11. 【详解】
所以．答案为．
12. 【详解】当时，，，所以法线方程为
，也就是．
13. 【详解】明显和是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的构造定理，该方程的通解为，其中为随意常数．把初始条件代入可得，所以答案为
14. 【详解】由条件可知，其中为A的伴随矩阵，从而可知
，所以可能为或0．
但由结论可知，可知,伴随矩阵的秩只能为3，所以
15. 【分析】主要是考察时常见函数的马克劳林绽开式．
【详解】当时，，，
，
所以，
由于与是等价无穷小，所以．
16. 【详解】由微元法可知
；
；
由条件，知．
17. 【详解】
．
18. 【详解】
证明：（1）由于为奇函数，则，由于在上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在，使得．
（2）由于为奇函数，则为偶函数，由（1）可知存在，使得，且，
令，由条件明显可知在上可导，且，
由罗尔定理可知，存在，使得即．
19. 【分析】考察的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法．
【详解】构造函数
令，得唯一驻点，即．
考虑边界上的点，；
间隔 函数在三点的取值分别为，
所以最长间隔 为，最短间隔 为1．
20. 【详解】
（1），
令，得唯驻点，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．
所以函数在处获得最小值．
（2）证明：由于，但，所以，故数列单调递增．
又由于，得到，数列有界．
由单调有界收敛定理可知极限存在．
令，则，由（1）的结论可知．
21. 【详解】
（1）曲线的弧微分为，
所以弧长为．
（2）设形心坐标为，
则．
22. 【详解】
明显由可知，假如C存在，则必需是2阶的方阵．设，
则变形为，
即得到线性方程组，要使C存在，此线性方