文档介绍：第七章 假设检验
§ 假设检验的基本思想
内容概要
1. 假设
参数空间Q={q }的非空子集或有关参数q 的命题,称为统计假设,简称假设。
原假设,根据需要而设立的假设,常记为 H0 : qÎQo.
备择假设,在原假设被拒绝后而采用(接受)的假设,常记为H1 : qÎQ1.
2. 检验对原假设H0 : qÎ,简称检验。检验有两个结果:
“原假设不正确”,称为拒绝原假设,或称检验显著;
“原假设正确”,称为接受原假设,或称检验不显著
3. 检验问题
由原假H0和备择假设H1组成的一个需要作判断的问题称为检验问题。
参数检验问题,两个假设都是由有关参数的命题组成的检验问题;
非参数检验问题,两个假设都是由有关分布的命题组成的检验问题。
常用的参数的假设检验问题有如下三种,其中q0是已知常数
(1) H 0 : q £ qo vs H 1 : q > qo
(2) H 0 : q ³ qo vs H 1 : q < qo
(3) H 0 : q = qo vs H 1 : q ¹ qo
其中(1)与(2)又称单侧检验问题,因为一个假设位于另一个假设的一侧,(3)称为双侧检验问题,因为备择假设位于原假设的两侧。
4. 两类错误及其发生的错误
原假设正确,但被拒绝,这种判断错误称为第一类错误,其发生概率称为犯第一类错误的概率,或称拒真概率,常记为;
原假设不真,但被接受,这种判断错误称为第二类错误,其发生概率称为犯第二类错误的概率,或称受伪概率,常记为.
(1) .
(2) 选择检验统计量,给出拒绝域的形式.
用于对原假设作出判断的统计量称为检验统计量;
使原假设被拒绝的样本观察值所在区域称为拒绝域,常用表示;
一个拒绝域唯一确定一个检验法则,反之,一个检验法则唯一确定一个拒绝域.
,或称为显著性检验,但也不能使过小(过小会导致增大),在适当控制中制约,最常用的,.
.
作出判断.
当样本,则拒绝,即接受;
当样本则接受.
6. 势函数设检验问题的拒绝域为,则样本观测值落在拒绝域内的概率称为该检验的势函数,记为
由势函数容易得到犯两类错误的概率
1. 设是来自的样本,考虑如下假设检验问题
vs
若检验由拒绝域确定.
当时求检验犯两类错误的概率;
如果要使得检验犯第二类错误的概率最小应取多少?
证明:当时,
解:(1) 由定义知,犯第一类错误的概率为
这是因为在成立下,而犯第二类错误的概率为
这是因为在H1成立下,
(2) 若使犯第二类错误的概率满足
即,或,查表得:,因此,,即n最小应取34,才能使检验犯第二类错误的概率
(3) 在样本量为n时,检验犯第一类错误的概率为
检验犯第二类错误的概率
注:从这个例子可以看出,要使检验犯两类错误的概率都趋于零,必须样本容量无限增大才行,这一结论在一般场合仍然成立。但是在实际中,样本容量很大往往不可行,故在一般情况下不可能做到犯两类错误的概率都很小。
2. 设x1,x2,…,x10是来自0-1总体B(0,1)的样本,考虑如下检验问题:
H0: p= vs H0: p=
取拒绝域,求该检验犯两类错误的概率。
解:x1,x2,…,x10~B(0,1),则,于是犯两类错误的概率分别为:
检验犯第二类错误的概率
讨论:这里 a=0。0328已经很小了,但是b=6331却很大,在样本容量n=10固定下,要使a变小,则b就会变大。为了进一步说明这一点,我们试着改变拒绝域为,则这时检验犯两类错误的概率分别为
=-=-=,
这一现象在一般场合也是对的,即在样本量n固定下,减小必导致增大b,减小b也必导致增大a.
,x2,…,x16是来自正态总体N(m,4)的样本,考虑检验问提H0: m = 6 vs H0: m ¹ 6
拒绝域取为,,并求检验在m=。
解:在H0为真的条件下,,因而由
即当c=,
检验在m=
解:均匀分布U(0,的最大次序统计量,因而检验犯第一类错误的概率为
它是q 的严减函数,故其最大值在q =3处达到,即
若要使得则要求nln(),即n至少为17.