文档介绍：随机变量及其变量分布
§ 离散型随机变量
(一)随机变量
引例一:掷骰子。可能结果为Ω={1,2,3,4,5,6}.
我们可以引入变量X,使X=1,表示点数为1;x=2表示点数为2;…,X=6,表示点数为6。
引例二,掷硬币,可能结果为Ω={正,反}.
我们可以引入变量X,使X=0,表示正面,X=1表示反面。
引例三,在灯泡使用寿命的试验中,我们引入变量X,使a<X<b,表示灯泡使用寿命在a(小时)与b(小时)之间。
例如,1000≤X≤2000 表示灯泡寿命在1000小时与2000小时之间。 0<X<4000表示灯泡寿命在4000小时以内的事件。
定义1:若变量X取某些值表示随机事件。就说变量X是随机变量。
习惯用英文大写字母X,Y,Z表示随机变量。
例如,引例一、二、三中的X都是随机变量。
(二)离散型随机变量及其分布律
定义2 若随机变量X只取有限多个值或可列的无限多个(分散的)值,就说X是离散型随机变量。例如,本节中的引例一、引例二的X是离散型随机变量。
定义3 若随机变量X可能取值为且有(k=1,2,…,n,…)
或有
其中,第一行表示X的取值,第二行表示X取相应值的概率。
就说公式(k=1,2,…,n,…)
或表格
是离散型随机变量x的(概率)分布律,记作
分布律有下列性质
(1);(2)
由于事件互不相容。而且是X全部可能取值。
所以
反之,若一数列具有以上两条性质,则它必可以作为某随机变量的分布律。
例1 设离散型随机变量X的分布律为
求常数c。
【答疑编号:10020101针对该题提问】
解由分布律的性质知
1=+c+,
解得c=.
例2 掷一枚质地均匀的骰子,记X为出现的点数,求X的分布律。
【答疑编号:10020102针对该题提问】
解 X的全部可能取值为1,2,3,4,5,6,且
则X的分布律为
在求离散型随机变量的分布律时,首先要找出其所有可能的取值,然后再求出每个值相应的概率。
例3 袋子中有5个同样大小的球,编号为1,2.,3,4,5。从中同时取出3个球,记X为取出的球的最大编号,求X的分布率。
【答疑编号:10020103针对该题提问】
解 X的取值为3,4,5,由古典概型的概率计算方法,得
(三个球的编号为1,2,3)
(有一球编号为4,从1,2,3中任取2个的组合与数字4搭配成3个)
(有一球编号为5,另两个球的编号小于5)
则X的分布律为
例4 已知一批零件共10个,其中有3个不合格,今任取一个使用,若取到不合格零件,则丢弃掉,再重新抽取一个,如此下去,试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布率。
【答疑编号:10020104针对该题提问】
解 X的取值为0,1,2,3,设表示“第i次取出的零件是不合格的”,利用概率乘法公式可计算,得
故X的分布率为
在实际应用中,有时还要求“X满足某一条件”这样的事件的概率,比如等,求法就是把满足条件的所对应的概率相加可得,如在例2中,求掷得奇数点的概率,即为
P{X=1,或3,或