文档介绍：§ 二次曲线的仿射理论
一、二阶曲线与无穷远直线的关系
二、二阶曲线的中心
三、直径与共轭直径
双曲型
抛物型
椭圆型
相异的实点
重合的实点
共轭的虚点
l∞=
A33的符号仿射不变.
有心:(A31, A32, A33); 无心:(A31, A32, 0)或(a12,–a11,0)或(a22,–a12,0).
无穷远直线的极点称为中心.
对非退化二阶曲线讨论:中心、直径与共轭直径、渐近线…
§ 二次曲线的仿射理论
三、直径与共轭直径
1. 定义
(1). 直径
仿射定义
解几定义
无穷远点P的有穷远极线(过中心的通常直线).
一组平行弦中点的轨迹.
(XY, ZP)= –1
(2). 共轭直径
直径AB的共轭直径为AB上无穷远点P的极线EF(相互通过对方极点的两直径).
直径AB的共轭直径为平行于AB的弦的中点轨迹EF.
(XY, ZP)= –1
仿射定义
解几定义
(3). 共轭方向:与一对共轭直径平行的方向.
l不是任何二阶曲线的直径!
§ 二次曲线的仿射理论
三、直径与共轭直径
1. 定义
2. 性质
(1). 有心二阶曲线
(i) 的任一对共轭直径与l一起, 构成的一个自极三点形.
(ii) 的每一直径平分与其共轭直径平行的弦, 且平行于共轭直径与交点处的两切线.
(2). 抛物线
(i) 的直径相互平行(l不是抛物线的直径).
(ii) 的任一直径的极点为其与有穷远交点处切线上的无穷远点.
(iii) 的任一直径平分其与有穷远交点处切线平行的弦. (XY, ZP)= –1.
(iv) 抛物线没有共轭直径, 将被一直径平分的弦的方向称为该直径的共轭方向.
§ 二次曲线的仿射理论
三、直径与共轭直径
1. 定义
2. 性质
3. 直径的方程
(1). 有心二阶曲线
(i) 直径的方程. 因为直径是以的中心为束心的线束中的直线. 以两特殊直径参数表示. 取两无穷远点(1,0,0), (0,1,0), 其极线(对应的直径)方程为
即
从而任一直径l的方程为
注: k的几何意义. ()表示的直径l方程可改写为:
这说明l为(1,k,0)的极线. 而(1,k,0)是l的共轭直径上的无穷远点, 从而, ()中的参数k为直径l的共轭方向(共轭直径的斜率).
§ 二次曲线的仿射理论
三、直径与共轭直径
1. 定义
2. 性质
3. 直径的方程
(1). 有心二阶曲线
(ii) 两直径共轭的条件.
设直径
的共轭直径为l'.
则l'为l上的无穷远点(a12+ka22,–(a11+ka12),0)的极线. 从而l'的方程为
即
其中
为l的斜率, 即
从而, 两直径共轭两直径的斜率满足对合方程.
性质. 在以有心二阶曲线的中心为束心的线束中, 直径与共轭直径的对应是一个对合.
三、直径与共轭直径
1. 定义
2. 性质
3. 直径的方程
(1). 有心二阶曲线
(2). 抛物线
利用中心坐标, 可直接写出的直径方程为
或者
(a12,–a11,0)或(a22,–a12,0)
§ 二次曲线的仿射理论
四、渐近线
1. 定义. 二阶曲线上无穷远点处的有穷远切线称为其渐近线.
注1. 等价定义:过中心的有穷远切线称为渐近线.
注2. 与渐近线平行的方向称为渐近方向.
注3.
双曲线
椭圆
有两条
实
虚
渐近线, 一对渐近方向;抛物线无渐近线.
从而, 渐近线只对有心二阶曲线讨论.
§ 二次曲线的仿射理论
§ 二次曲线的仿射理论
四、渐近线
1. 定义
2. 性质
(1). 渐近线是自共轭的直径.
(2). 在以二阶曲线的中心为束心的线束中, 渐近线是对合
的两条不变直线.
(3). 有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭直径.
3. 求渐近线方程
设已知有心二阶曲线
求Γ的渐近线方程.
双曲线
双曲型对合
椭圆
椭圆型对合
§ 二次曲线的仿射理论
四、渐近线
3. 求渐近线方程
设已知有心二阶曲线
求Γ的渐近线方程.
法一. 利用对合不变元素. 在
中, 令k=k'得不变元素方程为
此方程的两根即为渐近线方向. 设两根为ki(i=1,2), 分别代入
即可得两渐近线方程.
评注:此法简单且直接, 但若上述参数表示中的两基线之一为渐近线, 则ki中应有0或∞, 实际计算时容易丢失一条渐近线.