文档介绍：高等数学
北京工商大学杨益民
2022/4/14
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第三节曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地，若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足：
（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ；
（2 绕oy轴旋转得旋转曲面
3. xoy平面上的母线绕ox轴旋转得旋转曲面
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例6 求xoz坐标面的上双曲线C：分别绕x轴和z轴
旋转双曲面
解：
一周生成的旋转曲面的方程。
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫圆锥面的半顶角。
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解:
圆锥面方程
例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α的圆锥面方程。
圆锥面的母线方程为
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定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
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柱面举例
抛物柱面
平面
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一般地，已知准线方程
母线平行于 z 轴的柱面方程为：
注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程表示母线平行于z轴的柱面。
一般地，在空间直角坐标下
（缺z），
表示母线∥？，准线为？的柱面。
（缺y），
表示母线∥？，准线为？的柱面。
（缺x），
表示母线∥？，准线为？的柱面。
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问：
（1）表示什么曲面？
（2）表示什么曲面？
回顾
1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。
2. 表示一张球面。
3. 表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线绕oz轴旋转得旋转曲面
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四、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。
目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。
即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。
5. xoy平面上的准线方程母线平行于 z 轴的
柱面方程为：
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（一）椭球面
椭球面与三个坐标面的交线：
椭球面与平面的交线为椭圆
同理与平面x=x1和y=y1 的交线也是椭圆
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椭球面的几种特殊情况：
旋转椭球面
由椭圆或绕z轴旋转而成。
球面
方程可写为
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（二）抛物面
（p与q同号）
（1）椭圆抛物面
用截痕法讨论：
（1）用坐标面 xoy (z=0) 去截；
设p与q都大于零。
（2）用平面去截；
（3）用坐标面 xoz 或 yoz 去截；
（4）用平面去截；
y
o
x
z
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z
x
y
o
椭圆抛物面的图形如下：
x
y
z
o
特殊地：当p=q时，方程变为
旋转抛物面
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（2）双曲抛物面（马鞍面）
( p与q同号 )
用截痕法讨论：
设
x
z
y
o
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（三）双曲面
单叶双曲面
x
y
o
z
（1）
z
o
x
y
.
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双叶双曲面
x
y
o
（2）
x
o
y
z
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习题8－3
4，5，7，8，9，10，11
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定义
三、