文档介绍：高等数学
北京工商大学杨益民
2022/4/14
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第三节曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地，若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足：
（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ；
（2高等数学
北京工商大学杨益民
2022/4/14
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第三节曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地，若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足：
（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ；
（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ；
则称：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程F(x,y,z)=0的图像。
两个基本问题：
（2）已知F(x, y, z) = 0 ，问它表示什么曲面？
（1）已知曲面S，求曲面方程F(x, y, z) = 0 ？
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一些特殊平面
例3 方程表示
什么图形？
用截痕法讨论几种特殊曲面（特别二次曲面）
例1 求球心在点半径为R的球面方程。
例2 已知空间两点A(1,2,3)，B(2,-1,4)，求线段AB的垂直平分
面的方程。
一般地，三元二次方程（不含交叉项且平方项系数相同）
表示空间的一张球面。
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例4 方程的图形是怎样的？
根据题意有
图形上不封顶，下封底。
解
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。
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例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
为母线所产生的旋转曲面S的方程为：
证明：
旋转曲面如图
设M(x, y, z)为旋转曲面S上任意一点，
显然，M一定是由母线C上某点M1(0, y1, z1)旋转得到，
(0, 0, z)
代入母线方程即得证明。
即
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注意：
1. yoz平面上的母线绕oz轴旋转得旋转曲面
2. yoz平面上的母线绕oy轴旋转得旋转曲面
3. xoy平面上的母线绕ox轴旋转得旋转曲面
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例6 求xoz坐标面的上双曲线C：分别绕x轴和z轴
旋转双曲面
解：
一周生成的旋转曲面的方程。
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫圆锥面的半顶角。
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解:
圆锥面方程
例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α的圆锥面方程。
圆锥面的母线方程为
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定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
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柱面举例
抛物柱面
平面
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一般地，已知准线方程
母线平行于 z 轴的柱面方程为：
注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程表示母线平行于z轴的柱面。
一般地，在空间直角坐标下
（缺z），
表示母线∥？，准线为？的柱面。
（缺y），
表示母线∥？，准线为？的柱面。
（缺x），
表示母线∥？，准线为？的柱面。
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问：
（1）表示什么曲面？
（2）表示什么曲面？
回顾
1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。
2. 表示一张球面。
3.