文档介绍：二维随机变量及概率分布
一、 二维随机变量的联合概率分布表示
( 一). 二维随机变量的联合概率分布函数
概念
设 ( X, Y) 为一个二维随机变量， x, y 为任两个实数，则称
F (x, 1 , x2 ) 都有一阶连续偏导数，
x1
x1
记J
y1
y2
， Y1
g1 ( X 1 , X 2 ) ,
x2
x2
Y2
g 2 ( X 1 , X 2 )
y1
y2
则设 Y
(Y1 ,Y2 ) 的概率密度为
f Y ( y1, y2 ) = f X [ h1 ( y1, y2 ), h2 ( y1 , y2 )] J
例：设二维随机变量
(U,V)
～ N (2,2;4,1,
1 ),
X
U bV
X , Y
独立？
2
Y
V
, 问 b
? 时，
解： X
U bV ，且 J
1
b
1 0 ，所以 ( X,Y) ～二维正态分布，因此 X ,Y
Y
V
0
1
独立等价于
X ,Y
不相关，从而等价于 Cov
=0
(X,Y)
Cov
(X,Y)
=Cov
(U
bV ,V )
= Cov
(U ,V)
-
(V,V)
b Cov
= Cov (U ,V ) -
b DV
1
b 0 ，
1
2
b.
2
二、
二维随机变量的边缘概率分布表示
( 一).
二维随机变量的边缘概率分布函数
若 ( X ,Y) ～ F ( x, y) ，则 X ～ FX (x)
F ( x,
) ， Y ～ FY ( y)
F (
, y) 。
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( 二). 二 离散型随机 量的 概率分布表
X
Y
x1
x 2
⋯
x n
⋯
y1
p11
p12
⋯
p1n
⋯
若 (X,Y)～
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
ym
pm1
pm2
⋯
pmn
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
或 ( X, Y) ～ P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1,2,
X ～ P( X xi ) pij , i 1,2,
j
Y ～ P(Y y j ) pij , j 1,2,
i
( 三). 二 型随机 量的 概率密度函数
若
(X,Y)
～
f (x, y)
， X～
f
( x)
， ～
。
X
f ( x, y)dy Y fY ( y)
f ( x, y)dx
三、 两个随机 量的独立性的判断
1．若 X, Y 的 合概率分布函数 F ( x, y) ， 概率分布函数分 FX (x) ，
FY ( y) ， X ,Y 相互独立的充要条件 ： F ( x, y) = FX (x) FY ( y) 。
2. 若 X ,Y 的 合概率分布列 P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1,2,
概率分布列
X ～ P( X xi ) pij pi? , i 1,2,
j
Y ～ P(Y y j ) pij p? j , j 1,2,
i
X , Y 相互独立的充要条件 ：
P( X xi , Y y j ) P( X xi ) P(Y y j ) , i, j 1,2,
3. 若 X ,Y 的 合概率密度函数 f ( x, y) ， 概率密度函数分 f X ( x) ，
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