文档介绍：线 性 代 数
张青洁
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1
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第一章 线性方程组与行列式
第二章 矩阵与线性方程组
第三章 向量组的线性相关性
第四章 相似矩阵与二次型
第五章* 线性空间与线性变换行列式的定义
(1)每一项都是位于不同行、不同列三个元素的乘积；
(2)当行标按标准序，则各项的正负号为
带正号的三项的列标排列是：
123、231、312
带负号的三项的列标排列是：
132、213、321
偶排列
奇排列
分析：
共3!项
可记为
∴
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定义：n 阶行列式
(1) 含有 n! 项的代数和；
(2) 每一项
都是位于不同行、不同列
的n个元素的乘积；
(3) 各项的符号为
determinant
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(1)当 n = 1时，
一阶行列式 。
注意
例:
(2)n 阶行列式也可以定义为
τ为行标排列
的逆序数。
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例1：计算
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例2：计算
解
D是一个4!=24项的代数和.
在这24项中,除了
其余的项都至少含有一个0因子,因而为0.
这四项之外,
上面四项的行标都是按标准序排列,列标依次为:
1234,1324,4321,4231.
其中第一个和第三个是偶排列,
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0
上三角行列式
展开式中项的一般形式是
所以不为零的项只有
证
例3
由于i >j时，有 ，则
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同理：次上三角行列式
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作为上三角和次上三角行列式的特例
对角行列式
次对角行列式
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例4 计算
解
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已知
例5
解
对应于
含 的项有两项,即
含 的项有两项,即
含 的项有两项,即
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例6：在五阶行列式中，项
应取什么符号？
解：
∴应取正号
（1）
（2）
∴应取正号
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行列式的定义又可记为：
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性质1 行列式与它的转置行列式相等，
转置行列式
§4 行列式的性质
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性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。
column
row
例：
推论 如果行列式有两行（列 )完全相同，则此行列式
等于零。
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性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以
同一数 k,等于用数 k 乘此行列式。
例：
推论1 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行
列式符号外面。
公因子可提出
推论2 行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式的值
等于零。
例:
推论3 行列式如果有一行（列）元素为零，则此行列式的值
等于零。
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性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,
如：
则 D 等于下列两个行列式之和：
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例:
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例 计算行列式
解
将行列式按第一列拆开:
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性质5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数，
然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。
如
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例：
第一行乘以-2
加到第二行上去
第一列乘以-2
加到第三列上去
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计算
例1：
解:
[注]：计算数字行列式，一个重要的方法就是将其
化为上（下）三角形行列式。
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解:
计算
例2：
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例3： 计算
解：
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另解：
即：自第3行开始，自下往上每行都乘以-1后，加到下一行。
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例4 设
0
证明：
任何n阶行列式总能利用行列式的行（列）变换化为
上（下）三角形行列式。
[注]：
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证：
对 作行变换r,
把 化为下三角形行列式：
0
对 作列变换c,
把 化为下三角形行列式：
0
0
对 的前 k 行作行变换r,
对后 n 列作列变换c,