文档介绍：计算题 1、在整数环 Z中,令 I={5k|k∈Z} (1)确定商环 Z/I中的元素。(2)Z/I是不是一个整环?求 Z/I的特征。 2、确定 3次对称群 S 3的所有子群及所有正规子群。 3、求模 6的剩余类环 Z 6的所有理想。 4、在 10次对称群 S 10中, σ=????????********** 10 987654321 . (1)将σ表成一些不相交轮换之积。(2)求|σ|。 5 、设 G={2 m7 n|m,n∈Q} 是关于普通数的乘法构成的群, f:2 m7 n|→7 n是G 到G的一个同态映射,求 f的同态核 Kerf 。 6、设(Z 16,+,·)是模 16的剩余类环,求Z 16的所有理想,求Z 16的所有非零理想的交。 7、在 7次对称群 S 7中,将(12)(2347) -1(12) -1表为一些互不相交的轮换之积。 8 、在高斯整数环 Z[i]={ a+bi|a,b ?Z,i 2=-1} 中,(1) 求主理想(1+ i),(2) 求)1( ][i iZ?。 9、给出整数加群 Z的所有自同构。 10、设R=Z 4是模 4的剩余类环,确定 Z 4的所有理想。 11、设R=Z[i]={ a+bi|a,b ?Z,i 2=-1} 是高斯整数环,试求 Z[i] 的所有单位。 12、设 G={ 2 m3 n|m,n ?Q}是关于通常数的乘法作成的群,令f:2 m3 n? 2 m (1) 验证 f是G到G的同态映射, (2) 确定 Kerf。 13、找出三次对称群 3S 的所有子群;找出 3S 关于子群 H={(1),(12)} 的右陪集分解。 14、在整数环 Z中,试求出所有包含 30的极大理想。 15、求出模 6的剩余类加群 Z 6的所有自同构。 16、(10分)求模 12的剩余类加群( Z 12,+)的所有自同构映射 17、设 Z?? i =?? 1,,| 2????iZbabia 是高斯整数环,求 Z?? i 的商域。 18、求数环 Z[5 ]={a+b 5a ,b? Z}的全部自同构映射。 19 、求高斯整数环 Z[i]={ a+bia ,b? Z,i 2=-1} 的主理想(1-i) 以及剩余类环)1( ][i iZ? 20、设 Z 8是模 8的剩余类环,在Z 8中求 x 3的根. 21、在 3次对称群 S 3中,令H={(1),(12)}, 试确定 H在S 3中的左陪集分解式。 22、确定高斯整数环 Z[i]的全部自同构映射. 23、试写出模 12的剩余类加群 G=( Z 12,+)的所有子群及 G的所有生成元。 24、设 Z是整数环,求( 4,6)=? 25、找出模 8的剩余类环)8( Z 的一切非零理想,并求它们的交。 26、设G={2 m5 nm ,n?Q }是关于普通的数的乘法作成的群,f:2 m5 n? 5 n是 G到G的一个同态映射,求f的核 ker f。 27、设(Z 12,+,?)是模 12的剩余类环,求Z 12的一切理想,以及一切非零理想的交。 28、试写出三次对称群的所有不变子群。 29、已知 I={6k|k ? Z}是偶数环 R的理想,求商环 I R 的所有元素。 30、求数环?? ZbabaZ?????,7]7[ 的所有单位。 31、确定模 10的剩余类加群的所有子群。 32、设 G是一个阶为 15的交换群。(1)证明 G是循环群。(2)求出 G的所有子群。 33、若 S 3是3次对称群, ?? yx xySySxxSC?????,,|)( 333 (1)求C(S 3)。(2)当n≥3时, C(S n)呢? 34、在 3次对称群 S 3中, H={(1),(23)}。(1)试给出 H在S 3中的左陪集分解式(2)H是不是 S 3的正规子群? 35、设 G是一个 21阶交换群, H={x|xexG?? 14, } (1) 证明: GH?。(2)确定出 H。 36、设 Z是整数加群,求 Z的自同构群 Aut(Z)。 37、设 Z是模 6的剩余类加群,求 Aut(Z 6)。 38、在整数加群 Z中, S={2004,2 3,3 2},求<S>。 39、设 G=<a>是一个 20阶循环群,试求 G的所有生成元。 40、确定 3次对称群 S 3的所有正规子群。 41、设 N? G,|N G |=12 ,N GgGg在,14 ,??中求<gN>。 42、在 5次对称群 S 5中,设置换?=(12345 ) (1)求置换?,使??? 2。(2)求置换?,使 14????。 43 、在 S 9 中, ?=(1965 )(1487 )(1923 ) ,将?表成一些不相交轮换之积,且求?。 44、在 S 8中, H=<?>,?=(1487 )(1865 )(134),试求[G:H]。 45、求 Z