文档介绍：- 1- 第三章第三章相相似似矩矩阵阵- 2- § § 特征值与特征向量特征值与特征向量一、方阵特征值与特征向量的定义与求法二、方阵特征值的性质与应用- 3- 定义定义设A是n阶方阵, 如果数和n维非零非零列向量 x满足?则称为A的特征值特征值, 非零向量 x称为 A的对应于(或属于) 特征值的特征向量特征向量。??把(1) 改写为 0??AE?使得(2) 有非零解??(2) 的所有非零解向量都是对应于的特征向量.??是A的特征值?)1(x Ax ??)2(0)(??xAE?- 4- 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) nn n n nn a a a a a a f E A a a a ??? ??? ? ?? ? ?? ??? ? ???? ? ??n nn )1()1( 1 122 11?????????????????称为 A的特征多项式,而称为 A的特征方程。0)(???AEf??由代数基本定理,特征方程在复数范围恰有 n个根(重根按重数计算)。因此, n阶方阵在复数范围内恰有 n个特征值。关于特征值、特征向量的讨论约定约定在复数范围内. - 5- 性质性质 nn naaa????????? 22 11 21)1(???A n????? 21)2( )() )(()( 21nAEf???????????????设n阶方阵特征值为)( ijaA? n???,,, 21?, 则n nnn n??????????? 21 121)1()(?????????Aaaa nn nn n)1()( 122 11?????????????又.) tr( 22 11迹称为 AaaaA nn????? def - 6- 定义定义 sns n nAEf )()()()( 2 12 1???????????????设n阶方阵互不相同的特征值为)( ijaA? s???,,, 21?, 即可设 1 tii n n ???其中 dim( ( )) rank( ) i i i s N E n E ? ?? ???? A A 的代数重数,称对应于为 in i?,称 i?的线性无关的特征向量个数: i?为的几何重数。- 7-??????????????122 113 221B??????????????966 636 663A 求矩阵 A,B的特征值和特征向量。(注意二者的区别)966 636 663?????????????AE 解(对于矩阵 A)?? 101 636 6633????????????? 100 630 6633????????????? 033 2?????? 303 636 663???????????? 13rr??例- 8-3,3 321??????? A 的特征值为对于,解方程组 3 1?? 0)( 1??xAE??????????????????????????????000 110 10112 66 606 6603 1AEAE???????? 32 31xx xx 同解方程组为,令,得基础解系 1 3??x T)1,1,1( 1???因此,对应于特征值的所有特征向量为 1?)0( 111?kk???????????????966 636 663A - 9- 对于,解方程组 3 32?????0)( 2??xAE?????????????????????????????????000 000 111666 666 6663 2AEAE?同解方程组为,令 321xxx???得基础解系?????????????????????1 0,0 1 3 2x x,)0,1,1( 2 T??? T)1,0,1( 3???因此,对应于特征值的所有特征向量为 3 32????? 3322??kk?),( 32 不同时为零 kk ??????????????966 636 663A - 10- (对于矩阵 B)??????????????122 113 221B122 113 221???????????????BE123 113 223 321????????????????ccc???? 300 130 2213121 111 2213???????????????????????? 033 2??????3,3 321??????? B 的特征值为