文档介绍：立体几何知识点and例题讲解
—、知识点
〈一〉常用结论
证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线
平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.
定：
a〃b, b u 面a, aczana 〃面a
a
面面垂直：
a_L面oc, au 面pnB_Loc
面ocJ_面p, aAp = /, auoc, aJ_/=>a_L§
线面平行的性质：
a〃面a, au 面°, aAP = b a//b
三垂线定理（及逆定理）：
PA±面a, AO为PO在a***影，au面a,则
a_LOA n a_LPO； a_LPO n a_LAO
a_L面ex, b_L面ana〃b
面ocJ_a, 面&J_anoc〃&
2、三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角9 , 0° < 9 W90°
线面垂直：
a_Lb, a_Lc, b, c u a, bP|c = Ona_La
（2）直线与平面所成的角9 , 0° < 9 <90°
。=0。时，b〃a或bua
（3）二面角：二面角a-/-&的平面角。，0° <0<180°
（定义法）
（三垂线定理法：Ae a作或证ABJ_ B于B,作 BO_L棱于O,连AO,则入0_1棱I, .I ZAOB为所 求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
证明其符合定义，并指出所求作的角。
计算大小（解直角三角形，或用余弦定理
二' 题型与方法
【考点***】
不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。
求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。
【例题解析】
考点1点到平面的距离
求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化 法与等体积法的应用.
例1如图，正三棱柱ABC-A^C,的所有棱长都为2, D为CC、中点.
（I ）求证：上平面同以）；
（II） 求二面角A-A{D-B的大小;
（III） 求点C到平面&BD的距离.
考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力.
解答过程：解法一 ：（I ）取中点。，连结AO.
B
C
为正三角形，:.AO±BC ■
•.•正三棱柱ABC-A^C,中，平面ABC L平面BCC】B\， AO ±平面BCC屈.
连结BQ，在正方形3BCC中，O, £>分别为
BC, cq 的中点，BXO ± BD , ABX ± BD -
在正方形 ABBXAX 中，ABt ± AtB - ABt ± 平面 A}BD -
（II）设/用与4B交于点G,在平面中，作GF ± A{D于F，连结/F ,由（I）得/月工平面&BD • :.AF ± A}D - ：./AFG 为二面角 A--B 的平面角.
在中，由等面积法可求得/尸=座，
5
又 3 =即=也,...sinQFG = ^ =马=U
AF 4^5 4
E
所以二面角A--B的大小为arcsin画.
4
（III）△4BO 中，BD = &D =底 A}B = 2>/2,S^bd = ^6
在正三棱柱中，4到平面bcca的距离为VL
设点C到平面&BD的距离为d .
由 V&-BCD = -C-a"，❹S ABCD^h =，如&BL>W，
.d =后s*d =扼..•.点c到平面[BQ的距离为巫.
" 电网 2 2
解法二：（I ）取BC中点。，连结/O.
•.△ABC为正三角形，a AO±BC ■
在正三棱柱ABC - WBC中，平面ABC ±平面BCC]Bi，
:.AD ± 平面 BCC\B[.
取0C]中点Q，以。为原点，OB , OOt >瑟的方向为X,
。（-1,1,0），4（02 心），』（0,0,a/T），%1,2,0），
.•项=（1,2,-后），BD = （-2,1,0） - BAt = （-1,2,73） •
•.•函面=-2 + 2 + 0 = 0，兹瓦=-1 + 4-3 = 0，
.•.福上面，,-
.BCD = 1
y, z轴的正方向建立空间直角坐标系，则5（1,0,0）.
AB, ± 平面 .
(II)设平面的法向量为"=(x, y, c) •
AD = (-1,1,-V3) > AAX = (0,2,0) - n ± AD > nlA^ >
nUAD = 0, . J-x + y->/3c = 0, " = 0’
nO4At = 0,〔