文档介绍：。
阶行列式的定义和性质。
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（列）展开
计算n 阶行列式。
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第一章 行列式
1：
解法二
第四章 向量组的线性相关性
一、证明向量组的线性相关性
二、求向量组的秩与最大无关组
三、向量空间的判定
一、向量组的线性相关性
方法1 从定义出发
方法２ 用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定
例１ 研究下列向量组的线性相关性
解一
整理得到
解二
证一
证三：
求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的
秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量
所排成的．
如果向量组的向量以列（行）向量的形式给
出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等
行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，
而且可以求出最大线性无关组．
二、求向量组的秩与最大无关组
若矩阵 经过初等行（列）变换化为矩阵 ，
则 和 中任何对应的列（行）向量组都有相同的
线性相关性．
那末,向量组 就称为向量空间V的一个基，
r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间．
三、向量空间及其基
设V是向量空间,如果r个向量 且满足:
设V为n维向量的集合，如果集合V非空,且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间．
试判断集合是否为向量空间.
第五章 相似矩阵及二次型
一、矩阵的相似对角化
二、实对称矩阵的正交相似对角化
三、求正交变换把二次型化为的标准形
一、矩阵对角化的步骤
1 .求出矩阵A的所有特征值：1 , 2 , ··· , s
假设它们的重数分别为 n1, n2 , ··· , ns ,
有n1 + n2 + ··· + ns = n.
i 求特征向量
求(A - iE)x = 0的基础解系
若i 的基础解系有ni个线性无关向量，则 A 可对角化
3 . 设 i 的基础解系为：
以这些特征向量为列，构造矩阵：
则 P-1AP = .
注意：矩阵 P 的列与对角矩阵 主对角线上的元素( A 的特征值 ) 位置之间的对应关系.
例1 设
求可逆矩阵将矩阵A相似对角化
解
步骤 1 ：解特征方程| A - E | = 0
求出矩阵 A 的所有特征值
设 A有 s 个不同的特征值 1 , 2 , ··· , s ，
它们的重数分别为 n1 , n2 , ··· , ns ,
则有n1 + n2 + ··· + ns = n.
二、用正交矩阵将对称矩阵对角化的步骤
步骤 2 : 对 A 的每个特征值 i ,
求解齐次线性方程组(A - i E)x=0的基础解系
即A的对应于i 的ni 个线性无关的特征向量
步骤 3 : 设 i 的基础解系设为
( i = 1, 2, ··· , s)
步骤 4 : 对应于 A 的每个特征值 i
以上述单位正交向量为列构造矩阵
把它们正交化、单位化，仍记为：
则 P 为正交矩阵且 P-1AP =
例 3 设
求 An
（教材126页例13）
三、用正交变换化二次型为标准形
解
1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
例4
从而得特征值
2．求特征向量
3．将特征向量正交化
得正交向量组
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵
于是所求正交变换为
定理 9 设有实二次型 f = xTAx, 它的秩为r ,
有两个实的可逆变换：
x = Cy 及 x = Pz
使 f = k1y12 + k2y22 + ··· + kryr2 (ki 0),
及 f = 1z12 + 2z22 + ··· + rzr2 (i 0)
则 k1 , k2 , ··· , kr 中正数的个数
与 1 , 2 , ··· , r中正数的个数相等.
四、正(负)定二次型的判别
定理 10 实二次型 f(x) = xTAx 为正定的
充要条件是:它的标准形的 n 个系数全为正，
即它的规范形的 n 个系数全为 1，