文档介绍：份中等数学
第二届全国中学生数学冬令营竞赛试题解答
、
一设是自然数求证方程, ,
”一份一在每个由有公共边的两个最小三
有模为的复根的充分必要条件是可被角形组成的菱形之中, 两组相对顶点上放置
整除的数之和相等
证必要性设、是方程’‘十‘一了一试求
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二。的一个模为的复根则‘一“一二放置最大数的点与放置最小数的
”月
所以一二, 从而压。二一点之间的最短距离,
因为, 由此得出二」一既然所有结点上的数的总和
, 故在复平面的单位圆上而单位圆妙考虑任意一个由三个依次有
,
上满足一川二的点只能是公共边的最小三角形组成的梯形如图中
的梯形通, 。图是二的情形
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, 把这两式相减得出
明十可被整除
这说明在同一直线上的三个相邻的结点
充分性若, 被
, , 上放置的数成等差数列又由
整除容易验证
,
‘于这样的梯形是任取的这就证明了位于
。‘、均
手气同一直线的结点上所放置的数依次组成一个
等差数列因此, 若, , 。三个数两两不
或等, 则若, , 。中有两个数相同,
是此方程的根, 且图
, 二丫, 二
、么
二把边长为的正三角形的各边当为偶数时当为奇数时
。,
都等分过各分点作平行于其它两边的直· ““· 二·
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线, 将这三角形分成小三角形各小三角形弄
的顶点都称为结点在每个结点上放置了一
召。,
个实数已知万一
,
, , 三点上放置的数分别为种简便的求法是利用对称性事实上不难
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综上, 命题得证
、
称乍下红弓介区才之师进修学校
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户、供题
刀德并作答
兀矛、
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年第二期
, ,
看出若在, 三点上分别放置, 。形, 使得这五个点仍在
或, , , 而且仍保留性质, 则所这三角形内部, 记之为
有结点上放置的数的总和仍为现在把三△。
种置法在同一结点上放置的数加起来, 便得如图所示, 其中
叮, , 它
, ,
出一种新的置法这时口上放置的数、, , , , ,
都是十十, 而这种置法显然仍满足均为△通边长的“
性质由的证明可知, 这时每
。,
个结点上放置的数都是十因此二
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