文档介绍：双曲线
平面内到两个定点 F1, F2 的距离之差的绝对值是常数
2a(2a< |F1 F2 |) 的点的轨迹。
方程
简图
y
y
x
x
范围
a2
b2
c
由 s≥ 4 c ，得 2ab ≥ 4 c ，即 5a
c2
a2
2c2 。
5
c
5
于是得 5 e2
1
2e2 ，即 4e4
25e2
25
0 。
解不等式，得
5
e2
5 。由于 e＞ 1＞ 0，所以 e 的取值范围是
5
e5 。
4
2
【例 3】设 F1、 F2 分别是双曲线
x2
y
2
1
的左、右焦点，若双曲线上存在点
，使
a2
b2
A
F1 AF2 90
o
，且︱ AF︱ =3︱ AF︱，求双曲线的离心率。
1
2
解：∵ F1AF2 90o
∴
2
2
AF1
AF24c2
又︱ AF1︱ =3︱AF2︱，
∴ AF1
AF2
2 AF2
2a 即 AF2
a ，
2
AF2
2
2
2
2
4c 2 ，
∴ AF1
9 AF2
AF2
10 AF2 10a2
∴ c
10
10 即 e
10 。
a
4
2
2
题型三 直线与双曲线的位置关系
方法思路： 1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组
成方程组，即
Ax
By
C
0
2 ，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有
2
x
2
2
2
2
b
b
a y
a
一个公共点和相切不是等价的。
、直线与双曲线相交所截得的弦长：
【例 4】如图，已知两定点 F1 (
uuuur
uuur
2,0), F2 ( 2,0) ，满足条件 PF2
PF1 2 的点 P 的轨迹
是曲线 E，直线 y=kx-1 与曲线 E 交于 A、B 两点，如果 AB 6
3 ，且曲线 E 上存在点
uuur
uuur
uuur
y
C，使 OA
OB
mOC ，求
（ 1）曲线 E 的方程；
A
C
B
O
x
2）直线 AB的方程；
3）m的值和△ ABC的面积 S。
解：由双曲线的定义可知，
曲线 E 是以 F1(
2,0), F2 (
2,0) 为焦点的双曲线的左支，
且 c
2 ，a=1，易知 b
c2
a2
1。
故直线 E 的方程为 x2
y2
1(x 0) ，
(2)
设 A(x 1 ,y1 ) ,
B(x 2 ,y 2 ) ,
由题意建立方程组
y=kx-1
消去 y，得 (1 k 2 )x2
2kx
2 0 。
x 2 -y 2 =1
又已知直线与双曲线左支交于两点
A、B，有
1
k 2
0,
V
(2 k) 2
8(1
k 2 )
0,
x1
x2
2k
0,
解得
2 k
1。
1
k 2
x1 x2
2
0.