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0) = max x Î[a, b] | F(x) | = max x Î[a, b] | ò[a, x] f(t) dt |
£ max x Î[a, b] | f(t) | · (b - a ) = r( f, 0) · (b - a ) £ K (b - a )．
故A是一致有界的．
"e > 0，"s, tÎ[a, b]，当| s - t | < e/K时，
"F ÎA，存在f ÎM，使得F(x) =ò[a, x] f(u) du．
| F(s) - F(t) | = | ò[s, t] f(u) du | £ max u Î[a, b] | f(u) | · | s - t |
= r( f, 0) · | s - t | £ K · (e/K) = e．
故A是等度连续的．
由Arzela-Ascoli定理，A是列紧集．
设E = {sin nt}n ³ 1，求证：E在C[0, p]中不是列紧的．
证明：显然E是一致有界的．
根据Arzela-Ascoli定理，我们只要证明E不是等度连续的即可．
我们的想法是找一个E中的点列fn，以及[0, p]中的两个点列sn和tn，使得
| sn - tn | ® 0，但| fn(sn) - fn(tn) |不收敛于0．
事实上，这是可以做到的，只要令
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fn (u) = sin (2n u)，sn = (p/2)(1 + 1/(2n))，tn = (p/2)(1 - 1/(2n))．
则 sn + tn = p；sn - tn = p/(2n)® 0 (n®¥)．
因此，| fn(sn) - fn(tn) | = 2 | sin (2n sn) - sin (2n tn) |
= 2 | sin (n (sn - tn)) cos (n (sn + tn) ) |
= 2 | sin ( p/2) cos (n p) | = 2．
所以，E不是等度连续的．进而，E在C[0, p]中不是列紧的．
求证S空间的子集A是列紧的充要条件是："nÎN+，$Cn > 0，使得
"x = (x1, x2, ..., xn, ...)ÎA，都有| xn | £ Cn ( n = 1, 2, ...)．
证明：(Ü) 设xk = (x1(k), x2(k), ..., xn(k), ...) ( k = 1, 2, ... )是A中的点列．
存在{xk}的子列{x1, k}使得其第1个坐标x1(1, k)收敛；
存在{x1, k}的子列{x2, k}使得其第2个坐标x2(2, k)收敛；
如此下去，得到一个{xk}的子列的序列，第( j +1)个子列是第j个子列的子列，且第j个子列的第j个坐标是收敛的．
选取对角线构成的点列{xj, j}，则{xj, j}是{xk}的子列，且每个坐标都收敛．
根据****题的证明可知，S空间的点列收敛的充要条件是坐标收敛．
故{xj, j}是收敛点列．所以，A是列紧的．
(Þ) 我们只要证明，"nÎN+，A中的点的第n个坐标所构成的集合是有界集．
若不然，设A中的点的第N个坐标所构成的集合是无界的．
则存在A中的点列xk = (x1(k), x2(k), ..., xn(k), ...) ( k = 1, 2, ... )，使得| xN(k) | > k．
显然，{ xN(k) }无收敛子列，故{ xk }也无收敛子列，这与A列紧相矛盾．
这样就完成了必要性的证明．
设(X, r)是度量空间，M是X中的列紧集，映射f : X ® M满足
r ( f (x1), f (x2)) < r ( x1, x2 ) ("x1, x2ÎM, x1 ¹ x2)．
求证：f在X中存在唯一的不动点．
证明：(1) 首先证明cl(M)是紧集．为此只要证明cl(M)列紧即可．
设{ xn }是cl(M)中的点列，则存在M中的点列{ yn }使得r ( xn, yn ) < 1/n．
因M列紧，故{ yn }有收敛子列{ yn(k)}，设yn(k) ® u Îcl(M)．
显然{ xn(k)}也是收敛的，并且也收敛于u Îcl(M)．