文档介绍：* *
单倒置摆控制系统的建模及
MATLAB 仿真
背景：
单倒置摆系统是一个不稳定系统，当给系统施加外力时，倒置摆向左或向右倾倒，影响系统稳定，同时单
倒置摆系统典型的高阶次、多变量、严重
8a ）
(8b)
T
式中 x z z
为方便研究，假定系统的参数 M=1kg,m=,l=1m, g / s2 ,则系统状态方程中参数矩阵为：
0
1
0
0
0
0
0
1
0
, b
1
A
0
0
1
， c 1 0 0 0
（ 9 ）
0
0
0
0
11
0
1
此时倒置摆的状态空间模型表达式为：
* *
0
1
0
0
0
0
0
1
0
x
1
（10 ）
x
0
0
1
u
0
0
0
0
11
0
1
y 1 0 0 0 x
其系统的结构图如下：
图 1 单倒置摆开环系统结构图
被控对象特性分析
能控性分析
根据能控性的秩判据，并将式（ 9 ）的有关数据带入该判据，可得
rank M rank b Ab A 2b A 3 b 4
因此，单倒置摆的运动状态是可控的。换句话说，这意味着总存在一控制作用
仿真：
代码： A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;
N=size(A);n=N(1);
sys0=ss(A,b,c,d);
S=ctrb(A,b) ；
f=rank(S);
if f==n
disp(' 系统能控 ')
else
disp(' 系统不能控 ')
end
结果截图：
系统能控
稳定性分析
由单倒置摆系统的状态方程，可求的其特征方程为：
I A
2 ( 2
11) 0

11 ）
u, 将非零状态 x 转移到零。
12 ）
* *
解得特征值为 0,0 ， 11 ， - 11 。四个特征值中存在一个正根，两个零根，这说明单倒置摆系统，
即被控系统不稳定的。
仿真 : 采用 matlab 对被控对象进行仿真，如下图所示为倒摆没有添加任何控制器下四个变量的单位
阶跃响应。如图可知，系统不稳定，不能到达控制目的。
代码：
A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;
sys0=ss(A,b,c,d);
t=0::5;
[y,t,x]=step(sys0,t);
subplot(2,2,1);
plot(t,x(:,1));grid
xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');
title('z');
subplot(2,2,2);
plot(t,x(:,2));grid;
xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');
title('z 的微分 ');
subplot(2,2,3);
plot(t,x(:,3));grid
xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');
title('\theta')
subplot(2,2,4);
plot(t,x(:,4));grid
xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');
title('\theta的微分 ')
结果：