文档介绍：细心整理
多项式****题解答
用除，求商及余式.

.
.
适合什么条件时，有
当且仅当时.
细心整理
，用去除，余式为零，比拟首项系数及常数项可
两式相乘得
.
因此有
证法二、，，那么
细心整理
为及的一个公因式，，那么为及的一个公因式，，即有
设都是多项式，而且
求证：.
证明：假如那么
证明：
.
从而有
因此有由12题结果结论成立.
方法二：，，，又，因此有，即，也即为及的一个公因式，
求以下多项式的公共根：
解法一：利用因式分解可得
细心整理

解法二：运用辗转相除法求出及的最大公因式，最大公因式的根即为所求的公共根.

判别以下多项式有无重因式：
解：
运用辗转相除法可得因此为的三重因式.
解法二：试根可得2为的根
.
因此为的三重因式.
解：
.故无重因式.
求值使有重根.
解法一：要使有重根，那么.
当即时
，
因此1为的三重根.
细心整理
当，即时，，为的二重根.
解法二：设.
因此有
由第一个方程有，代人第三个方程有即
.因此有
或
即当时1为的三重根；当时，为的二重根.
求多项式有重根的条件.
假如求
解法一：利用整除判定方法，的充要条件是用除，余式为零.
.
因此有，即
解法二：要使成立，，
解法三：
细心整理
因此有
解得
证明：不能有重根.
证明：令那么

.
所以没有重根.
假如是的一个重根，证明是
的一个重根.
证明：
，设是的重根，那么.
此题常见错误证法：证法一：由是的一个重根就得出是的一个重根，是的一个重根，是的一个重根，于是
细心整理
，由是的一个重根推不出是的一个重根，是的一个重根，是的一个重根.
如，那么，
.既不是的根，也不是及的根.
证法二：由
得出是的重根，干脆得出是的重根，缺了是及的根验证.
证明：是的重根的充分必要条件是而
证明：，从而是的重因式，从而是的重因式，是的重因式，...，是的单因式，，，，...，的根，
，，，...，的根，，是二重根，依此类推，是的重根.
举例说明断语“假如是的重根，那么是的重根”是不对的.
解：例如，.是的重根，但
细心整理
不是的根.
：假如那么.
证明：
从而有即.
证法二：要证，
.
：假如，那么
证明：要证成立，只要证1是和的根.

.
求多项式在复数范围内和在实数范围内的因式分解.
解：的根为故在复数范围内的分解式为
.
在实数范围内，因，.当为奇数时，的根中一个为实根，其余为虚根，其分解式为
细心整理
.
当为偶数时，的根中二个为实根，即其余为虚根，其分解式为
求以下多项式的有理根.
解：多项式可能的有理根为由系数取值可知，取负数时，多项式的值均为负的，，进一步运用综合除法可得
即，，且为单根.
解：多项式可能的有理根为
因此有
，
.
解：多项式可能的有理根为检验得为其根，进一步运用综合除法可得
细心整理
，3为单根.
以下多项式在有理数域上是否可约？
解：明显无有理根，又为二次的，故在有理数域上不行约.
解：取素数，满足艾森斯坦判别法的条件，因此在有理数域上不行约.
解：令
取素数满足艾森斯坦判别法条件，因此在有理数域上不行约，从而在有理数域上不行约.
为奇素数；
解：令，由为奇数可得
由组合数定义均为整数，且