文档介绍：对称变换和对称矩阵授课题目: 对称变换和对称矩阵教学目的: 1 .掌握对称变换的概念,能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题. 2 .掌握对称变换的特征根、特征向量的性质. 3 .对一个实对称矩阵 A ,能熟练地找到正交矩阵 T ,使 T AT ?为对角形授课时数: 3 学时教学重点: 对称变换的特征根、特征向量的性质; 对实对称矩阵 A ,能熟练地找到正交矩阵 T,使 T AT ?为对角形教学难点:定理的证明教学过程: 一、对称变换 1 、一个问题问题: 欧氏空间 V 中的线性变换?应该满足什么条件, 才能使它在某个正交基下的矩阵是对角形? V 满足: V??????????????,,)(, ), ( 2 、对称变换的定义设?是欧氏空间 V 中的线性变换,如果 V????, 都有、?????)(,??????), ( 则称?是V 的一个对称变换例1 以下 3R 的线性变换中, 指出哪些是对称变换? 1 1 2 3 1 2 2 3 3 1 ( , , ) ( , , ) x x x x x x x x x ?? ??? 2 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 ( , , ) ( , 2 , 2 ); x x x x x x x x x x ?? ???? 3 1 2 3 2 1 3 ( , , ) ( , , ) x x x x x x ?? ?? 3 、对称变换与对称矩阵的关系 T h1:n 维欧氏空间 V 中的线性变换?是对称变换的充分必要条件是: ?关于任意一个正交基的矩阵是实对称矩阵证:必要性:设?是对称变换, ?关于 V 的标准正交基},{ 21n????的矩阵是 A=)( ),( Rn ijuAa?即?))()( ),(( 21n???????},{ 21n???? A 则k nk kiia?????? 1)(ni??1 因?是对称变换, },{ 21n????是标准正交基,所以 ijk nk kji jijijk nk ki jiaa aa ??????????????????????????? 1 1, )(, ),(, 因此, A 是对称矩阵充分性设?关于 V 的标准正交基},{ 21n????的矩阵是 A=)( ija 是实对称矩阵,即?))()( ),(( 21n???????},{ 21n???? A, A= ?A 对任意 V???, ,有????? nnxxx????? 2211},{ 21n?????????? nnyyy????? 2211},{ 21n????y 于是?)(??},{ 21n???? A??)(??},{ 21n???? A?y 其中 A?,A?y 分别是)(??,)(??关于标准正交基},{ 21n????的坐标列向量, 因此 AY AY YAYA TT TTT????????????)()(, )( ),(??????因 A= ?A 故?????),( =??)(,???二、对称变换的基本性质 1 、特征根的性质 Th2 实对称矩阵的特征根都是实数证明:设 A=)( ija 是一个 n 阶实对称矩阵,?是A 在复数域内的任意一个特征根, c c??????????????? 2 1?是A 的属于特征根?的特征向量,于